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第1讲导数的概念及运算,知 识 梳 理 1导数与导函数的概念 (1)当x1趋于x0,即x趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中,称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数,通常用符号f(x0)表示,记作 f(x0),(2)如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数值记为f(x):f(x) 则f(x)是关于x的 函数,称f(x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数,2导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率k,即k ,切线方程为: ,f(x0),yf(x0)f(x0)(xx0),3基本初等函数的导数公式,0,x1,cos x,sin x,ex,axln a,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),诊 断 自 测 1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同 () (2)求f(x0)时,可先求f(x0),再求f(x0) () (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点() (4)若f(x)a32axx2,则f(x)3a22x.(),解析(1)f(x0)表示函数f(x)的导数在x0处的值,而f(x0)表示函数值f(x0)的导数,其意义不同,(1)错 (2)求f(x0)时,应先求f(x),再代入求值,(2)错 (4)f(x)a32axx2x22axa3,f(x)2x2a,(4)错 答案(1)(2)(3)(4),3(2016天津卷)已知函数f(x)(2x1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为_ 解析因为f(x)(2x1)ex, 所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex, 所以f(0)3e03. 答案3,4(2017豫北名校期末联考)曲线y5ex3在点(0,2)处的切线方程为_ 解析y5ex,所求曲线的切线斜率 ky|x05e05,切线方程为 y(2)5(x0),即5xy20. 答案5xy20,5(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a_. 解析由题意可得f(x)3ax21,则f(1)3a1, 又f(1)a2, 切线方程为y(a2)(3a1)(x1) 切线过点(2,7), 7(a2)3a1,解得a1. 答案1,规律方法(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量提高运算速度,减少差错 (2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导,【训练1】 (1)f(x)x(2 017ln x),若f(x0)2 018,则x0等于 () Ae2 B1 Cln 2 De (2)(2015天津卷)已知函数f(x)axln x,x(0,),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数若f(1)3,则a的值为_,答案(1)B(2)3,考点二导数的几何意义(多维探究) 命题角度一求切线方程 【例21】 (1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)ex1x,则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_ (2)(2017南昌质检)已知函数f(x)xln x,若直线l过点(0,1),并且与曲线yf(x)相切,则直线l的方程为 () Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10,解析(1)设x0,则x0时,f(x)ex1x. 因此,当x0时,f(x)ex11,f(1)e012. 则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f(1)2,所以切线方程为y22(x1),即2xy0.,答案(1)2xy0(2)B,命题角度二求切点坐标 【例22】 (2017西安调研)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为_,答案(1,1),答案B,规律方法(1)导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率,切点既在曲线上,又在切线上切线有可能和曲线还有其他的公共点 (2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点,“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点,此时应先设出切点坐标 (3)当曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是xx0.,【训练2】 (1)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10,则点P的坐标是_ (2)函数f(x)ln xax的图像存在与直线2xy0平行的切线,则实数a的取值范围是_,答案(1)(e,e)(2)(,2),思想方法 1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值;(f(x0)是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0)0. 2对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时,必须注意交换的等价性 3曲线的切线与二次曲线的切线的区别:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点,易错防范 1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆 2曲线yf(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点 3对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数,参数是常量,其导数为零.,
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