2017/10/17 1 晶体学和晶体结构 Fundamentals of Crystallography 主讲：王辉 教授 王 辉 #8-238 第一章 点对称操作与非点式对 称操作 华南理工大学 材料科学与工程学院 金属材料系 研究生课程 2017年 秋季学期 提纲 1. 晶体的对称性 2. 点对称操作 旋转对称，中心对称，镜面对称，旋转倒反旋转倒反 3. 非点式对称操作 螺旋轴，滑移面 2 1. 晶体的对称性 晶体晶体是由原子或分子按照一定周期性规律在空间 重复排列而成的固体 晶体内部原子的周期性排列就是一种对称性，称 为平移对称平移对称 translational symmetry 晶体的对称性：晶体的对称性：晶体在某种操作（旋转、倒反、 平移）变换前后不可区分（重合）的属性 3 分子的对称性 vs 晶体的对称性 4 C60的分子结构和晶体结构 对称操作symmetry operation 分子或晶体的对称操作分子或晶体的对称操作：使各个原子的位置发生 变换的操作，其结果是分子或晶体的状态与操作 前的状态相同，即处于对称相关位置对称相关位置 5 苯分子的对称操作 点对称操作和非点式对称操作 点对称操作点对称操作：操作过程中保持空间中至少有一个不动 点的对称操作，如旋转、反演、镜面对称旋转、反演、镜面对称 而使空间中所有点都移动的对称操作称为非点式对称非点式对称 操作操作，如平移、螺旋平移、螺旋和滑移滑移 6 inversion rotation reflection translation 2017/10/17 2 对称要素symmetry element 点对称操作据以进行的几何元素，包括点点、线线、 面面，这些几何要素在对称操作中不发生位移 7 center of inversion mirror plane rotation axis 旋转轴 对称中心 镜面 2. 点对称操作的分类点对称操作的分类 point symmetry operation 第一类点对称操作 旋转 真旋转/纯旋转pure or proper rotation 客体无无手性手性变化 第二类点对称操作 反映/镜面、反演/倒反、旋转倒反/旋转反映 非真旋转improper rotation 客体有手性有手性变化 8 第一类点对称操作：旋转Rotation 绕某轴反时针反时针旋转 =360/n度的对称操作，n称为旋转轴次旋转轴次， n=1, 2, 3, 4, 6。称为基转角基转角，分别为360,180,120,90,60度 轴次定理轴次定理决定了晶体中只存在5种旋转对称，这是平移对称平移对称 对点对称操作点对称操作的制约所致 旋转对称操作的符号为n (Cn)，需要时在后面标出旋转轴旋转轴的 方向: nUVW, CnUVW, axis of rotation 恒等操作Identity 对客体不做任何操作的操作，或将物体绕任意一 条轴线转动360的操作 符号为1 (E, C1) 对称要素是一条虚设的轴线，称为1次旋转轴，简 称1次轴 国际符号国际符号Hermann-Mauguin：2(C2) 投影符号： 对称要素是2次旋转轴，简称2次轴 一般等效位置数一般等效位置数general equivalent position：2个 2次旋转2-fold rotation 2次轴垂直于纸面 2次轴平行于纸面 11 纸面上方 纸面下方 x,y,z x,y,z 熊夫利斯熊夫利斯符号符号C2 习惯习惯符号：符号：L2 对称操作的数学描述 12 对参考轴采用右手规则右手规则 R代表点操作矩阵 r=Rr 2次旋转 2017/10/17 3 3次旋转操作3-fold rotation 国际符号：3(C3) 投影符号： 对称要素是3次轴 连续两次操作也是对称操作 33 2 3 2 333 CCC 13 3个一般等效位置个一般等效位置 旋转操作一律采用右手规则旋转操作一律采用右手规则 4次旋转操作4-fold rotation 国际符号：4(C4) 投影符号： 对称要素是 4次轴 一般等效位置数一般等效位置数: 4 与4次轴相关的对称操作 2 2 4 2 24 CC 3 4 C 14 x,y,z ?,?,? 6次旋转操作6-fold rotation 国际符号：6(C6) 投影符号： 对称要素是6次轴 一般等效位置数一般等效位置数为6 六角坐标 与6次轴相关的对称操作 )( 1)(6),(2)(6),(3)(6 1 6 6 6 2 3 6 3 3 2 6 2 CCCCCC 15 六角坐标 hexagonal coordinates 16 第二类点对称操作第二类点对称操作 倒反（反演/中心对称） 反映（镜面） 旋转倒反 17 倒反操作Inversion 将空间点的每一个位置由坐标为(x，y，z)变换到 (- x，- y， - z)的操作 符号为i( ， ，Ci)，投影符号投影符号： 对称要素称为反演中心反演中心/对称中心对称中心inversion center 一般等效位置数一般等效位置数为2 具有对称中心的客体是中心对称的具有对称中心的客体是中心对称的centrosymmertric 2017/10/17 4 倒反操作Inversion 倒反操作改变客体的手性（手性（Chirality） 普通的旋转操作无法使左右手互换而彼此等效 右手与左手互为对形关系对形关系（enantiomorphic） 19 镜面/反映操作Reflection 定义：m010(x,y,z)=(x,-y,z) 对称要素是镜面/反映面mirror plane，符号m 在符号后面标以该镜面的法线方向，如m 010 投影符号投影符号 镜面操作改变了客体的手性 纸面为镜面 镜面的熊弗里斯符号 h, v, d相对于坐标轴,horizontal, vertical, diagonal h ，镜面垂直于主轴 v ，镜面包含主轴和a轴 d ，镜面包含主轴和a, b轴的分角线 21 旋转倒反Roto-inversion 旋转操作和倒反操作的复合操作 compound operation 与此类复合操作相联系的对称要素是倒反轴倒反轴 独立的倒反轴只有1种 22 先进行2次旋转，然后进行倒反操作的复合操作 其中对称中心位于2次旋转轴上 对称要素是2次反轴次反轴，符号2 2次反轴等价于一个与次反轴等价于一个与2次轴垂直的反映面次轴垂直的反映面 2次旋转倒反 m 23 3次旋转倒反 先进行3次旋转，然后进行倒反操作的复合操作 对称要素是3次反轴3 一般等效位置数为6 3次倒反轴等效于等效于一个3次轴和一个反演中心 0,6 1 2 3 4 5 24 2017/10/17 5 4次旋转倒反 先进行4次旋转，然后进行倒反操作的复合操作 对称要素是4次反轴4 ，一般等效位置数为4 4次反轴次反轴是一个独立的对称要素 4次反轴隐含一个2次轴 0,4 1 2 3 组成复合操作的每一个操作本身可能不是对称操作组成复合操作的每一个操作本身可能不是对称操作 25 位置按顺时针方向导出位置按顺时针方向导出 6次旋转倒反 先进行6次旋转，然后进行倒反操作的复合操作 对称要素是6次反轴，一般等效位置数为6 6次倒反轴可分解为一个3次轴和反映面 0,3 1 2 26 小结 8个独立的点对称要素： 1，2，3，4，6，i，m， M 3 6 4 熊弗里斯符号系统：旋转反映熊弗里斯符号系统：旋转反映 先旋转先旋转后反映反映的复合操作，旋转轴垂直于镜面旋转轴垂直于镜面 28 逆操作逆操作 每一个对称操作的逆操作也一定是对称操作 一个对称操作和它的逆操作之积为恒等操作 AA=E 29 30 C2H6乙烷分子 包含哪些对称操作? CH4分子 http:/symmetry.otterbein.edu/index.html 2017/10/17 6 3. 非点式对称操作非点式对称操作 点对称操作与平移操作的组合 产生非点式对称操作 螺旋轴螺旋轴 滑移面滑移面 改变点对称要素的位置 两种以上情况同时出现 32 非点式对称操作 含平移的对称操作称为非点式对称操作，是由 点式操作与平移操作复合后形成的新对称操作 平移和旋转轴（平行）复合导出螺旋轴螺旋轴 平移和镜面（平行）复合导出滑移面滑移面 33 螺旋轴screw axis np螺旋轴: 先绕轴进行逆时针方向360/n度的旋 转，n称为螺旋轴的次数(n=2, 3, 4, 6)。接着作 平行于该轴的平移，平移量为(p/n) t，这里t是 平行于转轴方向的最短的晶格平移矢量，p只 取小于n的整数 一共有以下11种螺旋轴 21 31，32 41，42，43 61，62，63，64，65 34 螺旋轴 水平的2次轴及21螺旋轴分别用及 或 表示 0 1 2 35 螺旋轴 3次轴及螺旋轴 右手螺旋 左手螺旋 0 1 2 3 0 2 1 3 36 2017/10/17 7 螺旋轴 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 3 4 右手螺旋 左手螺旋 37 螺旋轴 38 晶体结构中的螺旋轴 石英的基本结构可以看成是硅氧四面体在三和六 次螺旋轴附近的螺旋链。 三倍螺旋 螺旋连接构成晶体框架 39 滑移面glide plane 定义：定义：先作镜面操作，然后进行平行于 镜面的平移操作，平移的大小与方向等 于滑移矢量 该镜面称为滑移面，滑移矢量一定与镜镜 面平行面平行 点阵的周期性要求重复两次镜面操作后 产生的新位置与起始位置相差一个点阵 周期，所以滑移矢量的平移量平移量等于该方 向点阵平移周期的一半点阵平移周期的一半 周期 40 滑移面的分类 轴向滑移轴向滑移a, b, c: 沿晶轴(a, b, c)方向滑移 axial glide 反映面垂直于 a轴的b滑移 41 滑移面的分类 对角对角滑移滑移n: 沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平 移量为对角线一半，(a+b)/2, (b+c)/2, (c+a)/2，但在四方 或立方晶系中可能平移(a+b+c)/2。 diagonal glide 点(x,y,z)对滑移面(001)反映，再平移a+b/2 垂直于c轴的n滑移 42 2017/10/17 8 滑移面的分类 金刚石滑移金刚石滑移d: 沿晶胞面对角线或体对角线方向滑 移，平移分量对角线1/4的对角滑移面 diamond glide 只在体心或面心点阵中出现只在体心或面心点阵中出现，这时在面心或体心对角 线的中点也有一个阵点，所以平移分量仍然是滑移方 向点阵平移周期的一半 43 晶体结构中的滑移面 在晶体结构中，螺旋轴螺旋轴和滑移面滑移面能有效地利 用空间，满足密堆的要求 滑移面滑移面和螺旋轴螺旋轴都是微观对称要素，这种微 小的平移在宏观上是看不到的，宏观上只表 现为单纯的镜面或旋转轴 44 小结：点对称和非点式对称要素的符号 a, b c a, b 参见附录6 e 45 本章重点与难点 第一类点对称操作：旋转 第二类点对称操作：对称中心、镜面、旋转倒反 非点式对称操作：螺旋轴和滑移