第 52 讲 位置关系的向量解法（B）（第课时）位置关系的向量解法 ）定 定 理 ，线 面 垂 直 （ 线 面 垂 直 判 ）线 线 垂 直 （垂 直 ）定 定 理 ，线 面 平 行 （ 线 面 平 行 判 ）理 ，线 线 平 行 （ 共 线 向 量 定平 行 定 理 ）本 定 理 推 论 ， 共 面 向 量共 面 问 题 （ 空 间 向 量 基 ）共 线 问 题 （ bababa00/重点：1证明共线共面问题；2证明线线、线面的平行和垂直。难点：建立坐标系，把空间线面位置关系转化为空间向量问题。1掌握空间向量的基本运算，能证明几何体中的共线共面问题；2掌握空间向量的坐标运算能证明几何体中的平行、垂直问题。1共线共面问题，一般以小题形式出现；2平行或垂直问题，一般以大题形式出现。1共线共面问题证明共线问题需要用到共线向量定理：对于空间任意两个向量 a、b(b0),ab 的充要条件是存在实数 ，使 a= b 。证明共面问题可以利用空间向量基本定理的推论： 、 、 、 是空间不共面的四点，OABC则对空间任一点 ，都存在惟一的有序实数组 、 、 ，使 = + + PxyzPxyOBzC，特别地，若 + + =1 ，则必有 、 、 、 四点共面。xyzPAB证明共面问题也可以利用共面向量（平行于同一平面的向量叫做共面向量）定理：两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 、 ，使 p = a + b x。共面向量定理的推论：空间一点 位于平面 内的充要条件是存在实数对 、 ，使 My，或对空间任一定点 ，有 ，此式叫作平面MByAxPOMByAxP的向量表达式。例 （三点共线问题，前面已作介绍）例 （利用空间向量基本定理的推论来证明四点共面，前面已作介绍）例点 A（1，0 ，1） ，B（4，4，6） ，C（2，2，3） ，D（10，14，17）这四个点是否共面？神经网络 准确记忆！重点难点 好好把握！考纲要求 注意紧扣！命题预测 仅供参考！考点热点 一定掌握！解： AB（3，4，） ， AC（1，2，2） ， AD（9，14，16） ，设 Dx y ，即（ 9，14，16）（3xy，4x2y，x2y） ， ， A，B，C，D 四点共面。2点评：本题利用共面向量定理。2证线线垂直证明线线垂直需要用到 ab ab=0 。例如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且 C1CB= C1CD= BCD=60，求证： C1C BD 。证明： ， 、 、 中两两所成夹角为BD ， ， CBD 1111)(0coscosC， C 1CBD 。3证线面垂直证明线面垂直需要用到线面垂直的判定定理以及 ab ab = =0 。321ba例棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，在棱 DD1 上是否存在点 P 使 B1D面PAC？解：以 D 为原点建立如图所示的坐标系，设存在点 P（0，0，z）使 B1D面 PAC ，则 AP =（a，0，z ） ， =（a，a，0） ，1B=（ a，a，a ） B1D面 PAC ， =0， C=0 a 2+az=0， z=a ，即点 P 与 D1 重合， 点 P 与 D1 重合时， DB1面 PAC 。4证线线平行证明线线平行需要用到共线向量定理：对于空间任意两个向量 a、b(b0),ab 的充要条件是存在实数 ，使 a= b 。例证明平行于同一直线的两直线平行。已知： ， 。l/1l/2求证： 。证明：在 、 、 上分别取非零向量 m、a、b ，l ，即 a / m ， a = m ，l/1 x又 ，即 b / m ， m = b ，2 y 代入得 a =（ ）m ， a / b ，即 。xy21/l5证线面平行证明线面平行需要用到线面平行的判定定理以及共线向量定理。判定定理：若平面外的一条直线和这平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。两平行平面之一内的直线平行于另一个平面。共线向量定理：对于空间任意两个向量 a、b(b0),ab 的充要条件是存在实数 ，使 a=b 。例已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC 、CD、DA 的中点，且E、F 、G、H 四点共面，证明：BD平面 EFGH。证明： ，BDABAD21)(2121 EHBD ，又 EH 面 EFGH，BD 面 EFGH ， BD平面 EFGH 。LJ 03 07 位置关系的向量解法 1 2 3 4 5 6 7 8共线问题 共面问题 证线线垂直 证线面垂直 证线线平行 证线面平行 2在四面体 OABC 中，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA，N 为 BC 中点，若，则使 G 与 M，N 共线的 x 的一个值为 （ CxBAG431）A1 ； B2 ； C ； D 。3234答案： 。D3 （2000 年高考二省一市理科题）如图，直棱柱 ABCA1B1C1，底面ABC 中，CACB 1， BCA90，棱 AA12，M、N 分别是A1B1、 A1A 的中点。（1）求 N的长；（2）求 的值；1,cosCB（3）求证 A1BC 1 。解：（1）依题意得 B（0，1，0） ，N（1，0 ，1） ，能力测试 认真完成！参考答案 仔细核对！HGFEDCBA ；3)01()()01(222BN（2）A 1（1，0 ，2） ，B（0，1，0） ，C（0，0 ，0） ，B 1（0，1，2） ， ， ， ， ， ，,1A6A51CB ；3,cos11AC（3）证明：C 1（0，0 ，2） ， ， ， ，)2,(M)2,1(1B)0,21(1M ， A 1BC 1M 。AB4如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，且C 1CB=C 1CD=BCD，C 1CBD 。当 的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD？请给出证明。解：若使 A1C平面 C1BD ，只须证 A1CBD ，A 1CDC 1 ，=(a+b+c)(ac)()(1D=|a|2+abb c|c| 2=|a|2| c|2+|b|a|cos |b| |c|cos =0当 |a|=|c| 时， A1CDC 1 ，同理可证当 |a|=|c| 时，A 1CBD ， =1 时，A 1C平面 C1BD 。1D5已知 是正方形 所在平面外一点， 、 分别是 、 上的点，且 PBDMNPABD，求证：直线 平面 。 （分析题目时请用左图，写解答时8:5:NMBC请用右图。 ）证明: 如图， ，135135 BDPABNPMBNPMN)8(135)(135)( PCCCABPA，在 上取点 ，使 ，于是 ，CE8PEB13)(138 ， 平面 。NNPBM ND CBA P EM ND CBA P