广东省韶关市 2015 届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 A=x|x0，且 AB=B，则集合 B 可能是（）A 1， 2 B x|x1 C 1，0，1 D R2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z= ，|z|= （）A 1 B C D 33 （5 分）下列函数中，在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是（）A y=cosx B C y=lgx D y=exex4 （5 分）已知 为第二象限角， sin= ，则 sin（+2 ）=（）A B C D 5 （5 分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（）A 3 B 4 C 5 D 66 （5 分）已知两条直线 a，b，两个平面 ，给出下面四个命题：ab， ab； a，b ， ab；a，ab，b ； ， ab， ab其中正确的命题序号为（）A B C D 7 （5 分）如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（）A 10 B 11 C 12 D 138 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x3y 的最大值为（）A 4 B 4 C 3 D 39 （5 分）过双曲线 =1， （a0，b0）的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线，交双曲线的渐近线于 A、B 两点，若OAB（O 为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A B C D 210 （5 分）记x 表示不超过 x 的最大整数，例如1. 3=1，2.7=3函数 f（x）= （a0 且 a1） ，在 x0 时恒有f（x） =0，则实数 a 的取值范围是（）A a1 B 0a1 C a D 0a二、填空题：本大共 3 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 15 分.（一）必做题（1113 题）11 （5 分）设 xR，向量 =（x，1） ， =（1， 2） ，且 ，则| + |=12 （5 分）设曲线 y=xlnx 在点（ e，e）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=13 （5 分）已知各项都是正数的等比数列a n满足 a7=a6+2a5，若存在不同的两项 am 和 an，使得 aman=16a12，则 的最小值是（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题） 【坐标系与参数方程选做题】14 （5 分）在极坐标系中，圆 =4cos 的圆心到直线 = （R ）的距离是【几何证明选讲选做题】15如图，在半圆 O 中，C 是圆 O 上一点，直径 ABCD，垂足为 D，DEBC，垂足为 E，若 AB=6，AD=1，则 CEBC=三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 （12 分）已知函数 f（x） =2cos（2x+ ）+ sin2x（1）求函数 f（x）的最小正周期和最大值；（2）设ABC 的三内角分别是 A、B、C 若 f（ ）= ，且 AC=1，BC=3 ，求边 AB 和sinA 的值17 （12 分）汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从开始，将对二氧化碳排放量超过 130g/km 的轻型汽车进行惩罚性征税检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取 5 辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km） 甲 80 110 120 140 150乙 100 120 x 100 160经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为 =120g/km（1）求表中 x 的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性；（2）从被检测的 5 辆甲品牌轻型汽车中任取 2 辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km 的概率是多少？18 （14 分）如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，ABEF 是矩形，平面 ABCD平面ABEF，G 为 EC 的中点（1）求证：AC平面 BFG；（2）若三棱锥 CDGB 的体积为 ，求三棱柱 ADFBCE 的体积19 （14 分）已知数列a n满足 a1= ， =0，nN *（1）求证：数列 是等差数列；（2）设 bn= 1，数列bn的前 n 项之和为 Sn，求证：S n 20 （14 分）设 A、B 是焦距为 2 的椭圆 C1：x 2+ =1（a 1）的左、右顶点，曲线 C2 上的动点 P 满足 kAPkBP=a，其中， kAP 和 kBP 是分别直线 AP、BP 的斜率（1）求曲线 C2 的方程；（2）直线 MN 与椭圆 C1 只有一个公共点且交曲线 C2 于 M，N 两点，若以线段 MN 为直径的圆过点 B，求直线 MN 的方程21 （14 分）已知函数 f（x） = x3+ x2a2x+a，x R，aR（1）若函数 f（x）在区间0，2内恰有两个零点，求实数 a 的取值范围；（2）若 a=1，设函数 f（x）在区间t，t+3上的最大值为 M（t） ，最小值为 m（t） ，记F（t）=M（t）m（t） ，求函数 F（t）在区间3，1上的最小值广东省韶关市 2015 届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 A=x|x0，且 AB=B，则集合 B 可能是（）A 1， 2 B x|x1 C 1，0，1 D R考点： 交集及其运算 专题： 计算题；集合分析： 由集合 A=x|x0，且 AB=B，得 BA，由此能求出结果解答： 解：集合 A=x|x0，且 AB=B，BA，观察备选答案中的 4 个选项，只有1，2 A故选：A点评： 本题考查交集性质的应用，是基础题，解题时要认真审题2 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z= ，|z|= （）A 1 B C D 3考点： 复数求模 专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出解答： 解：复数 z= = =12i，|z|= = 故选：C点评： 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题3 （5 分）下列函数中，在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是（）A y=cosx B C y=lgx D y=exex考点： 函数奇偶性的判断；函数零点的判定定理 专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数奇偶性的定义进行判断即可解答： 解：Ay=cosx 为偶函数，不满足条件B. 为减函数，则不存在零点，不满足条件C函数的定义域为（0，+ ） ，为非奇非偶函数，不满足条件Dy=e xex 为奇函数，由 y=exex=0，解得 x=0，存在零点，满足条件故选：D点评： 本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数零点的求解，要求熟练掌握常见函数的奇偶性的性质4 （5 分）已知 为第二象限角， sin= ，则 sin（+2 ）=（）A B C D 考点： 二倍角的正弦；运用诱导公式化简求值 专题： 三角函数的求值分析： 由 为第二象限角及 sin 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 cos 的值，原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值解答： 解： 为第二象限角， sin= ，cos= = ，则原式= sin2=2sincos= 故选：C点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键5 （5 分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（）A 3 B 4 C 5 D 6考点： 程序框图 专题： 算法和程序框图分析： 通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值解答： 解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到 i=1，a=2；经第二次循环得到 i=2，a=5；经第三次循环得到 i=3，a=16 ；经第四次循环得到 i=4，a=65 满足判断框的条件，执行是，输出 4故选 B点评： 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律6 （5 分）已知两条直线 a，b，两个平面 ，给出下面四个命题：ab， ab； a，b ， ab；a，ab，b ； ， ab， ab其中正确的命题序号为（）A B C D 考点： 空间中直线与平面之间的位置关系 专题： 空间位置关系与距离分析： 根据线面平行的判定定理可得错误；根据线面垂直的判断定理与性质定理可得正确；由 a，ab，b 可得 ，得 错误；根据 ，a 得 a，再根据平行线中的一条垂直于平面，另一条也垂直于平面，可得正确解答： 解：b 可能在平面 内，故 错误；由 b， 得 b，又 a，故 ab，正确；由 a，ab，b 可得 ，故错误；由 ，a 得 a，又 ab， b，故 正确故选：D点评： 本题考查了线面垂直、平行的判定与性质，熟练掌握线面平行，线面垂直的判断定理及性质定理是关键7 （5 分）如图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本的平均重量为（）A 10 B 11 C 12 D 13考点： 频率分布直方图 专题： 概率与统计分析： 根据频率分布直方图，求出样本的平均重量即可解答： 解：根据频率分布直方图，得；重量在15，20 的频率是1（ 0.06+0.1） 5=0.2，该样本的平均重量为7.50.065+12.50.15+17.50.2=12故选：C点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是基础题目8 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x3y 的最大值为（）A 4 B 4 C 3 D 3考点： 简单线性规划 专题： 数形结合；不等式的解法及应用分析： 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合可行域可知，当直线 过点 A 时，截距最小， z 最大，联立直线方程求出 A 的坐标，代入 z=x3y 求 z 得最大值解答： 解：由约束条件 作出可行域如图，由 z=x3y，得 要使 z 最大，则直线 在 y 轴上的截距最小由图可知，当直线 过点 A 时，截距最小，z 最大联立 ，解得 ，A（ 2， 2） 则 z=x3y 的最大值为 23（2）=4 故选：B点评： 本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题9 （5 分）过双曲线 =1， （a0，b0）的右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线，交双曲线的渐近线于 A、B 两点，若OAB（O 为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A B C D 2考点： 双曲线的简单性质 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由