1962 年全国统一高考数学试卷一、解答题（共 10 小题，共 100 分）1 （10 分）某工厂第三年产量比第一年增长 21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到 1%）2 （10 分）求（12i） 5 的实部3 （10 分）解方程 lg（x5）+lg（x+3）2lg2=lg（2x9） 4 （10 分）求 的值5 （10 分）如图所示，O 是ABC 的内心，BOC=100，则BAC=_度6 （10 分）解方程组并讨论 a 取哪些实数时，方程组（1）有不同的两实数解；（2）有相同的两实数解；（3）没有实数解7 （10 分）已知 D 为ABC 内的一点，AB=AC=1，BAC=63，BAD=33， ABD=27，求DC（精确到小数点后两位，sin27=0.4540 ） 8 （10 分）已知 ABCD，ABCD都是正方形（如图） ，而 A、B 、C 、D分别把AB、BC、CD、DA 分为 m：n，设 AB=1（1）求 ABCD的面积；（2）求证 ABCD的面积不小于 9 （10 分）由正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作这正方体的对角线 A1C 的垂线，垂足为 E，证明A1E：EC=1：210 （10 分）求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内1962 年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共 10 小题，共 100 分）1 （10 分）某工厂第三年产量比第一年增长 21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到 1%）考点： 函数模型的选择与应用专题： 应用题分析： 先设平均每年增长 x%，则得（1+x% ） 2=1+21%，求得 x 的值，再计算第一年的产量是第三年的产量的百分之几即得结果解答： 解：设平均每年增长 x%，则得（1+x%） 2=1+21%，x=10又 ，故该工厂平均每年比上一年增长 10%，第一年的产量是第三年的产量的 83%点评： 本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型2 （10 分）求（12i） 5 的实部考点： 复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义 分析： 因为所给的代数式次数比较高，所以题目不会让我们直接展开运算，要用二项式定理来整理，又有 i 的特点知它的偶次方为实数，得到结果解答： 解：（ 12i） 5 的实部是由包含 i 的零次方及包含 i 的偶次方的各项所组成，由二项式定理知所求之实部为 C50+C52（2i） 2+C54（ 2i） 4=41点评： 复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目3 （10 分）解方程 lg（x5）+lg（x+3）2lg2=lg（2x9） 考点： 对数的运算性质 分析： 先根据对数运算性质求出 x，再根据对数的真数一定大于 0 检验即可解答： 解： ，x210x+21=0，x=3，x=7当 x=3 时，使 x50，2x 90 无意义，故不是原方程的解，原方程的解为 x=7点评： 本题主要考查对数的运算性质和对数函数的定义域问题属基础题4 （10 分）求 的值考点： 反三角函数的运用；同角三角函数基本关系的运用专题： 计算题分析： 根据题意，设 arcsin =，可得 的范围，由反三角函数的定义，可得 sin= ，根据同角三角函数的基本关系，可得 cos= ；而 sin（2arcsin ）=sin2，由二倍角公式，计算可得答案解答： 解：设 arcsin =， （090） ，则 sin= ，根据同角三角函数的基本关系，可得 cos= ；则 sin（ 2arcsin ）=sin2=2sincos= 点评： 本题考查反三角函数的运用，这类题目的易错点是反三角函数的范围，应特别注意5 （10 分）如图所示，O 是ABC 的内心，BOC=100，则BAC=20度考点： 圆的切线的性质定理的证明专题： 计算题分析： 由三角形内切定义可知：OB、OC 是 ABC、ACB 的角平分线利用内角和定理先求得OBC+OCB=80，所以可知 OBC+OCB= （ABC+ ACB） ，把对应数值代入此关系式即可求得BAC 的值解答： 解：OB、OC 是 ABC、ACB 的角平分线，OBC+OCB=180100=80，而OBC+ OCB= （ABC+ ACB）=80，ABC+ACB=160，BAC=180160=20故答案为 20点评： 本题通过三角形内切圆，考查切线的性质属于基础题6 （10 分）解方程组并讨论 a 取哪些实数时，方程组（1）有不同的两实数解；（2）有相同的两实数解；（3）没有实数解考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系 专题： 综合题分析： （1）将第二个方程代入第一个方程得到关于 y 的二次方程，利用二次方程的求根公式求出两个根，将求出的根代入第二个方程求出方程组的解（2）由（1）当通过代入消元得到的二次方程有两个不等实根即判别式大于 0 时，方程组有两个实数解；当判别式等于 0 时，方程组有相等的两实数解；（3）当判别式小于 0 时，方程组无解解答： 解：由得 x=ya将代入得 y24（ya） 2y+1=0，y26y（4a+1 ）=0，即方程组的解为即：（1）当 2a0，即 a2 时，方程组有不同的两实数解；（2）当 2a=0，即 a=2 时，方程组有相同的两实数解；（3）当 2a0，即 a2 时，方程组没有实数解点评： 本题考查代入消元求方程组组的解的方法、考查将方程组的解的问题转化为二次方程解的问题7 （10 分）已知 D 为ABC 内的一点，AB=AC=1，BAC=63，BAD=33， ABD=27，求DC（精确到小数点后两位，sin27=0.4540 ） 考点： 正弦定理；余弦定理专题： 计算题分析： 结合题意，在ADC 中，若 AD 可求，则 DC 可求，而 AD 可在ABD 中利用正弦定理求得解答： 解： ADB=180（33+27）=120，根据正弦定理，得 ，又 CAD=6333=30，由余弦定理可得DC2=AD2+AC2ADACcos30= 点评： 此题在求解过程中，先用正弦定理求边，再用余弦定理求边，体现了正、余弦定理的综合运用8 （10 分）已知 ABCD，ABCD都是正方形（如图） ，而 A、B 、C 、D分别把AB、BC、CD、DA 分为 m：n，设 AB=1（1）求 ABCD的面积；（2）求证 ABCD的面积不小于 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积专题： 计算题；证明题分析： （1）由题意设 AA=mt，AB=nt ，通过 推出 ABCD的面积的表达式；（2）利用配方把（1）的面积转化为 ，从而证明 ABCD的面积不小于 解答： 解（1）：设 AA=mt，AB=nt又 在直角DAA中，DA2=DA2+AA2=m2t2+n2t2=（m 2+n2）t 2而正方形 ABCD的面积= （2）证明： 点评： 本题是基础题，考查平面几何的知识点，正方形的面积的求法，作差法证明 ABCD的面积不小于 是本题的难点，注意把握9 （10 分）由正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作这正方体的对角线 A1C 的垂线，垂足为 E，证明A1E：EC=1：2考点： 棱柱的结构特征 专题： 证明题分析： 设正方体的棱长为 1，连接 AC，求出 AC，利用 A1EA1C=AA12，ECA 1C=AC2，可求A1E：EC，进而可证命题解答： 证明：设正方体的棱长为 1，连接 AC，则 AC= ，为直角 A1AC 的斜边 A1C 上的高，A1EA1C=AA12，ECA1C=AC2，两式相除，得 ，A1E：EC=1：2点评： 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题10 （10 分）求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内考点： 平面的基本性质及推论 专题： 证明题；分类讨论分析： 解决此题，先要画出图形，前三条线只能画成“两两相交，且不交于同一点” ，这样才能保证第四条线与前三条全相交，这样的话图形一共可以分为两类然后，我们可以根据推论 1 或者推论 2，先把平面确定好，然后再根据公理 1，进一步证明其余的直线也在这个平面里解答： 证明：第一种情形（如图 1）：四条直线 l1，l 2，l 3，l 4 没有三条直线过同一点，这时它们共有六个交点 A、B、C、D、E、F，它们各不相同，因直线 l1，l 2 相交于点 A，可决定一平面 ；因点 B、C 、 D、E 均在平面 内，所以直线 l3，l 4 也在平面 内，故直线 l1，l 2，l 3，l 4 同在平面 内第二种情形（如图 2）：四条直线 l1，l 2，l 3，l 4 中有三条，例如 l1，l 2，l 3，过同一点 A，因直线 l4 不过点 A，故由点 A 及直线 l4 可决定一平面 ，因直线 l4 与直线 l1，l 2，l 3，相交，设交点为 B、C 、D，则点 B、C 、 D 在直线 l4 上，从而在平面 内，因此，直线 l1，l 2，l 3，各有两点在平面 内，即这三条直线在平面 内，故四直线 l1，l 2，l 3，l 4 在同一平内点评： 此题难度系数不大，关键在于画对图形重点考查了推论 1、2 与公理 1，这些都是很简单的道理，但是能够运用起来，却不是那么容易，做题时不要烦躁，理清线条，定理运用其实很简单!