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2.1 二阶矩阵与平面向量学习目标:1.矩阵的相关知识,如行、列、元素,零矩阵的意义和表示;2.握二阶矩阵与平面列向量的乘法法则;3.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。学习过程:一、课前预习1. 矩阵的概念我们把形如 , , 这样的 (或 )阵列称为矩阵.2480965234m用大写黑体拉丁字母 或者 来表示矩阵,其中 分别表示 所在的 与 .,ij同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做 ;同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做 ;而组成矩阵的每一个数(或字母)称为 .2. 与矩阵有关的概念(1)零矩阵: ,记为 .(2)行矩阵: .(3)列矩阵: ,通常用 来表示.(4) 阶矩阵:若矩阵含有 行 列 ,则记为 阶矩阵.形如 的数表称为二阶矩阵.nnnabcd3. 矩阵相等: ,记作 .4. 矩阵与平面向量的关系平面上向量 的坐标和平面上的点 都可以看成是行矩阵 ,也可以看成是(,)axy(,)Pxy,xy.因此,常把 称为行向量,把 称为列向量.习惯上,把平面向量 的坐标写xy ()成列向量 的形式.因此, 既可以表示点 ,也可以表示 ,在不引起混淆xy(,)xy,OPxy的情况下,不加以区别.5.行矩阵 与列矩阵 的乘法规则为: 12a12b。6.二阶矩阵 与列向量 的乘法规则: 120xy。7.矩阵的变换一般地,对于平面上的任意一个点(向量) ,按照对应法则 ,总能对应唯一的一(,)xyT个平面点(向量) ,则称 为一个 ,简记为: 或 (,)xyT由矩阵 确定的变换 ,通常记作 .M二、典型例题例 1 (1)设矩阵 A 为二阶矩阵,且规定其元素 ,则 A= 。2,1;,2ijajij(2) = ,并解释计算结果的几何意义 3 2-。(3)由矩阵 所表示的三角形的面积是 。( 参考 P3 例 1)12(4)已知 , ,若 A=B,则 3xyA17Babxyab。(5)已知变换 ,将它写成坐标变换的形式是 。3 02xxyy(6)已知变换 ,将它改写成矩阵的乘法形式 5:T。例 2设矩阵 ,且 ,试求1sin2 +cos 2coi-cab0,abc例 3.设平面上一矩形 ABCD,A(0,0),B(2,0),C(2,1) ,D(0,1),在矩阵 对应的变换作用1 2下依次得到 。 (1)求 的坐标;(2)判断四边形 的形状,,ABCD,ABCD ABCD并求其面积。【自我评价】1.已知 A(3,1), B(5,2),则表示 的列向量为 。AB2.已知 ,则 。7324xymnmnxy3.已知 ,若 ,则 。1,Axyn4. = 。3 525.某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下:绿灯 30S,黄灯 3S,红灯 20S,如果分别用1,0,1 表示绿灯、黄灯、红灯,试用 2 矩阵表示该路口的时间设置为 3。6.点 A(3,4)在矩阵 对应的变换作用下得到的点坐标为 。027.已知 ,将它写成矩阵的乘法形式是 。3xxyy8.设矩阵 A 为 矩阵,且规定其元素 ,其中 ,那么 A 中所有元,ijjai,12,3ij素之和为 。9.设 ,求在矩阵 A 对应的变换作用下得到点(5,15)的平面上的点 P 的坐标。124 310.某名学生上学期在语、数、外三门功课的平日、期中、期终得分分别为:又平日、期中、期终三次成绩各自的权重分别为:平日:30%;期中:30%;期终:40%,则该名学生上学期语、数、外三门最后总评得分各为多少?11.求直线 经二阶矩阵 的变换后的图形的方程式。210xy3 10答案:A。解析: ,所求列向量为 。(2,1)AB21答案:B。解析: = 。3 55()0答案: 。1 0-32答案:(3,8) 。解析: 。1 03043428答案: 。2 1xxyy答案:38。解析:由题意知 ,故 A 中所有元素之和为 38。345 9A答案:设 ,则(,)Pxy1 22253,4331431xyxyxy所求点 P 的坐标为(3,1) 。外: 。80.7.950.48答案:语: ;数: ;93答案:设变换后的图形上的任一点为 ,与之对应的原直线上的点为 ,(,)xy(,)xy上, 即 这就是变换后图形的方程式。210xy2(3)10yx2710则 , 即 , 在直线3 xy3xy(,)xy
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