第五章,线性代数模型,预备知识矩阵的概念与运算、线性方程组的相关知识,学习目标1.掌握用矩阵表示实际量的方法； 2.掌握用矩阵运算求解实际问题的方法；3.掌握建立实际问题线性方程组模型的方法,5.1 矩阵模型,矩阵是由,个数,排成m行n列的数表：,其中,表示矩阵第,行第,列的元素，,称为,的行标，,称为,的列标,矩阵不仅可以清晰地表示批量数据，而且利用矩阵运算，还可以方便快捷地由已知批量数据获得未知批量数据的值同时，矩阵也是学习线性规划知识的基础因此，撇开具体问题所包含的实际背景或实际意义，有时我们将文字、表格或图形等用矩阵表示,已知矩阵,与数的运算相似，矩阵定义了如下运算:,与数的运算相似，矩阵定义了如下运算:,与数的运算相似，,矩阵定义了如下运算:,1.加、减法:,2.数乘:,其中,为常数,其中,为常数,其中k 为常数,3.乘法:,，其中,5.方阵的逆：对于n 阶方阵A ，如果存在一个 n阶方阵B ，使得AB=BA=I ，则称方阵A 是可逆的（简称 A可逆），并称B 是A 的逆矩阵，记作A-1=B .即AA-1=A-1A=I .,4.转置：,当矩阵A 的行数与列数相等，即 m=n时，矩阵 A称为n 阶方阵，记作A 或An A的左上角到右下角称为主对角线，其元素 a11,a22,a33,ann称为主对角线元素（简称主对角元）若 n阶方阵的对角线元素全为1，其它元素为0，则称此方阵为单位矩阵，记作 .,问题1 【交通网络模型】,图5-1表明了d国三个城市，e国3个城市相互间的交通情况.,图5-1,在d国和e国间，城市通路情况可用下列矩阵表示：,其中的数字1与0指相应城市间的通路数.试写出e国与f国的通路矩阵，并进一步写出d国与f国的通路矩阵,一、模型假设与符号说明,1.假设用数字1与0表示相应城市间的通路数 2.设d国和e国间的通路矩阵为A，e国与f国的通路矩阵为B，d国与f国的通路矩阵为C,二、模型的分析与建立,由图5-1可知，e国与f国的通路矩阵可以表示为,B=,而d国和e国间的通路矩阵为,利用矩阵的乘法运算，得d国与f国的通路矩阵为,C=AB=,三、模型求解,解法一：利用矩阵乘法的定义,得,C=,解法二：利用Matlab的矩阵乘法命令求解, a=1 1 0;1 0 1;1 1 0; b=1 0;1 1;0 1; C=a*b,C = 2 1 1 1 2 1,运行结果如下：,归纳一类问题的分析处理方法,在实际应用中，常用数字1或0分别表示电路、交通以及网络等的连通状态一般地，用数字1表示连通，数字0表示断开对于复杂的网络连接图，可用0-1矩阵表示结点的连通状况,问题2 【机床订购模型】,兴兴机械厂生产甲、乙、丙三种规格的机床，其价格和成本见表5-1.,表5-1,表5-1,1月份，工厂收到北京、上海与广东三地的订购数量见表5-2.表5-2.,1月份，工厂收到北京、上海与广东三地的订购数量见表5-2.,表5-2,请帮兴兴机械厂算一算各地订购三种机床的总价值、总成本、总利润各是多少？,一、模型假设与符号说明,1. 假设不考虑订货费及运输费等. 2. 假设用矩阵A表示三种规格机床的价格和成本矩阵；矩阵B表示北京、上海和广东三地三种机床的订购数量矩阵；矩阵C表示各地订购三种机床的总价值、总成本矩阵；矩阵D表示各地订购三种机床的总价值、总成本和总利润矩阵,二、模型的分析与建立,将表5-1转化为矩阵A为,A=,B=,甲乙丙,北京订购三种机床的数量分别乘以相应的单价,为北京订购三种机床的总价值，以此,类推，利用矩阵的乘法运算，得,C=AB=,三、模型求解,北京 上海 广东,C=,由于利润=收益-成本=机床的价值-成本，所以用矩阵C的第一行元素减去第二行的相应元素可以得到三地订购机床的总利润矩阵D为,北京 上海 广东,D=,拓展思考,若机床运往上海、北京与广东的运输费各为300元/台、200元/台、120元/台，则各地订购三种机床的总利润各是多少？,一般地，用矩阵表示数表后，可先分析结果中的某个量的构成，受此启发，再运用相应的矩阵运算得到全部结果,问题3 【信息加密解密模型】,在军事通讯中，常将字符(信号)与数字1-1对应，如 a b c d e f g x y z1 2 3 4 5 6 7 24 25 26例如are 对应矩阵B=(1 18 25) ，但如果按这种方式传输，则很容易被敌方破译于是必须采取加密，即用一个约定的加密矩阵A 乘以原信号 B，传输信号为C=AB ，收到信号的一方再将信号还原.如果敌方不知道加密矩阵，则很难破译设收到的信号为 C=(21 27 31)，并已知加密矩阵为,表5-1,表5-1,问原信号B是什么？,一、模型假设与符号说明1.假设信号在传输过程中使用相同的密约,二、模型的分析与建立,由加密原理知,三、模型求解,知,所以,解法二：利用Matlab中相应命令求解如下：,a= -1 0 1;0 1 1;1 1 1;c=21 27 31;Inv(a)*c,运行结果如下：,ans = 4 2 25,拓展思考,1. 若加密矩阵仍为A，要传输信息“you”，对方收到的信息是什么？,归纳总结,密码学广泛地运用于军事和现代信息技术中，它是信息安全的重要内容，加密与解密的原理为：先用某一密约矩阵乘以原矩阵（原码），这一过程叫做加密，然后传输，对方收到新矩阵（密码）后再将其还原为原矩阵（原码），这一过程叫做解密（破译）随着密码学的不断发展，如今，密约矩阵越来越复杂，加密方法也越来越多,问题3 【土地用途变更模型】,假设某地区今年的土地分布情况为：商业用地8000亩（1亩 666.6m2），居住用地16000亩，另外还有12000亩的闲置土地根据当地的土地规划，该地区今后两年内土地变更情况见表5-3那么两年后，该地区各类土地各有多少亩？,表5-1,表5-1,表5-3 土地使用及变更,一、模型假设与符号说明,1.假设该地区两年内严格按规划使用土地.2.设用矩阵A表示该城市土地使用及变更情况,用矩阵B表示今年该地区的土地情况，,二、模型的分析与建立,利用矩阵的运算，可分析出一年后商业用地、居住用地、闲置土地为:,同理，两年后的商业用地、居住用地、闲置土地为:,已知状态转移矩阵，利用矩阵乘法，可以计算经过一次、二次、n次转移后的相应数据,问题3 【转移模型】,某租车公司有3个车库，顾客可以从某个车库租车后，还到 3个车库中的任何一个经调查得知状态转移矩阵为:,其中aij表示顾客从第j个车库租出的车归还到第i个车库的比例例如矩阵的第一列表示顾客从第个车库租出的车辆分别有50，30，20归还到第1、2、3个车库.现公司有280辆车供出租，问如何设计这3个车库的容量.,一、模型假设与符号说明,1.假设开始时公司的车全部分散在各车库，都没被租出去，各车库各有 ， ， ，,辆车，并假设,X=,2.假设某一时刻公司的全部车都被租出去，到某一时刻又全部归还回来，这时各车库各有,辆车,二、模型的分析与建立,在假设的情况下，汽车出租一次后，各车库的车辆数为：,公司的管理者希望各车库的车辆数大体保持稳定，以减少调动空车的成本因此理想状态是:,即,其中,三、模型求解,上面的矩阵方程可转化为,这是一齐次方程.,a=0.5 -0.2 -0.3;-0.3 0.4 -0.3;-0.2 -0.2 0.6;rref(a),用Matlab求解如下：,ans = 1.0000 0 -1.2857 0 1.0000 -1.7143 0 0 0,运行结果如下：,即有一个多余方程，用方程,面第三个方程，即得如下方程组,替代上,用Matlab求解如下：,运行结果如下：, a=0.5 -0.2 -0.3 0;-0.3 0.4 -0.3 0;1 1 1 280; rref(a),ans = 1 0 0 90 0 1 0 120 0 0 1 70,即3个车库分别容纳90，120和70辆车在实际考虑时，每个车库可增加10辆车作为机动，因此3个车库的设计容量可分别为100、130和80辆,问题3 【商品市场占有率模型】,有两家公司R和S经营同类产品，它们相互竞争每年R公司保有1/4的顾客，而3/4转移向S公司；每年S公司保有2/3的顾客，而1/3转移向R公司当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额，而S公司占有2/5的市场份额问2年后，两家公司所占的敲击市场份额变化怎样？5年以后又怎样？是否有一组初始市场份额分配数据使以后每年的市场分配稳定不充变？,一、模型假设与符号说明,1.设转移矩阵,，市场初始分配数据,矩阵为,，n年后市场分配份额矩阵为,二、模型的分析与建立,由题知，一年后，市场分配为,两年后，市场分配为,以此类推，n年后市场分配份额为：,设有数据a和b作为R和S公司的初始市场份额，则有,为了使以后每年的市场分配不变，根据顾客数量转移的规律，有,即,这是一个奇次方程组问题如果方程组有解，则应在非零解的集合中选取正数作为市场的初始份额,三、模型求解,下面利用Matlab计算:,A=1/4 1/3;3/4 2/3;x0=3/5;2/5;x2=A2*x0,运行结果如下：,x5=0.3077 0.6923,x2=0.3097 0.6903,x5=A4*x0,即两年后R公司和S公司的市场份额分别为31%和69%；5年后分别为31%和69%,为了求,和,作为R和S公司稳定的初始市场份额，需要求解齐次方程组,结合约束条件,得,这是使市场稳定的两家公司的初始份额,format rat rref(A-eye(2),下面利用Matlab计算:,运行结果如下：,ans= 1 -4/9 0 0,由此得化简后的方程,拓展思考,1.在R公司和S公司的市场份额分别为60%和40%的情况下，根据计算结果，2年后情况变化如何？5年以后情况变化又如何？十年呢？2.是否所有的市场初始分配份额，在经过若干年后均会趋于稳定？,5.1 线性方程组模型,n元线性方程组指由多个线性方程(一次方程)构成的方程组，其中每个方程最多含有n个未知量它的一般形式为,这里有n个未知量，m个方程，其中m不一定等于n,如果记,则线性方程组可以用矩阵乘法表示为,一个复杂的实际问题往往可以简化或归结为一个线性问题，线性方程或线性方程组是最简单最常见的方程或方程组如大型的土建结构、机械结构、大型的输电网络、管道网络等等，通过简单的分析均可直接归结为线性方程组下面还将看到，商品销售、交通管理、经济学中的投入产出分析以及人体保健等都可以建立线性方程组模型,问题3 【T衫销模型】,小明百货商店销售四种型号的T衫：小号、中号、大号和加大号，各种型号T衫每件的销售价格分别为：22元/件、24元/件、26元/件、30元/件某日盘点时，小明把各型号T衫的销售数量弄混了，但他知道共售出了13件T衫，收入为320元，且大号的销售量为小号与加大号销售量之和，大号的销售收入也为小号与加大号销售收入之和问小明当日销售了各种型号的T衫各多少件？,