2015-2016 学年广东省深圳市高级中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，满分 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 “x=1”是“x 2x=0”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；对应思想；综合法；简易逻辑【分析】根据集合的包含关系结合充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由“x 2x=0”解得：x=0 或 x=1，“x=1 ”是“x 2x=0”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题2若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A2 B1 C D【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由题意可知图形的形状，求解即可【解答】解：本题考查立体图形三视图及体积公式如图，该立体图形为直三棱柱所以其体积为 【点评】本题考查立体图形三视图及体积公式，是基础题3若偶函数 f（x）在（，0内单调递减，则不等式 f（1）f（x）的解集是（）A （，1） B （ 1，+） C （ 1，1 ） D （， 1）（1，+ ）【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】函数思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可【解答】解：偶函数 f（x）在（ ，0内单调递减，函数 f（x）在0，+）内单调递增，则不等式 f（ 1）f（x）等价为 f（1）f（|x| ） ，即|x|1 ，即 x1 或 x1，故选：D【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键4已知向量 ， ，如果向量 与 垂直，则的值为（）A1 B C5 D【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】由向量=（4，3） ，=（2，1） ，知+=（42，3+ ） ，由向量 与 垂直，可得2（ 42） +1（3+ ）=0，解得 =1，故 2=（10，5 ） ，由此可求其模长【解答】解：向量=（4，3） ，=（2，1） ，+ =（ 42，3+） ，向量 与 垂直，2 （4 2）+1（3+ ）=0，解得 =1，2= （ 8，6）（2，1）= （ 10，5） ，则|2 |= =5故选 D【点评】本题考查平面向量的坐标运算，是基础题解题时要认真审题，注意数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用5已知双曲线 =1 的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率为 ，则此双曲线的方程为（）A5x 2 =1 B5x 2 =1 C =1 D =1【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线的方程算出其焦点为（1，0） ，从而得出左焦点为 F（ 1，0） ，再设出双曲线的方程，利用离心率的公式和 a、b、c 的平方关系建立方程组，解出 a、b 的值即可得到该双曲线的方程【解答】解：抛物线方程为 y2=4x，2p=4，得抛物线的焦点为（ 1，0） 双曲线的一个焦点与抛物 y2=4x 的焦点重合，双曲线的左焦点为 F（ 1，0） ，设双曲线的方程为 （a0，b0） ，可得 a2+b2=1双曲线的离心率等 ，= ，即 由联解，得 a2=，b 2=，该双曲线的方程为 5x2 =1故选 B【点评】本题重点考查双曲线的几何性质，考查抛物线的几何性质，正确计算双曲线的几何量是解题的关键6设 x0，y0，且 2x+y=20，则 lgx+lgy 的最大值是（）A50 B2 C1+lg5 D1【考点】对数的运算性质【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式【分析】由已知条件，可以得到 2x+y=202 ，进而得到 xy 的最大值为 50，也就得出lg（xy）的最大值【解答】解：x0，y0，且 2x+y=202x+y=202 ， （当且仅当 2x=y 时，等号成立 ）xy50lgx+lgy=lg（xy） lg50=1+lg5即 lgx+lgy 的最大值为 1+lg5故选：C【点评】本题主要利用均值不等式求解对数函数的最值问题，属于基础题7一名小学生的年龄和身高（单位：cm）的数据如下表：年龄 x 6 7 8 9身高 y 118 126 136 144由散点图可知，身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为=8.8x+，预测该学生 10 岁时的身高为（）A154 B153 C152 D151【考点】线性回归方程【专题】概率与统计【分析】先计算样本中心点，进而可求线性回归方程，由此可预测该学生 10 岁时的身高【解答】解：由题意， =7.5， =131代入线性回归直线方程为 ，131=8.87.5+，可得=65，x=10 时， =153故选 B【点评】本题考查回归分析的运用，考查学生的计算能力，确定线性回归直线方程是关键，属于基础题8设集合 A=0，1） ，B=1 ，2，函数 f（x）= x0A，且 ff（x 0）A，则 x0 的取值范围是（）A （ ） B （ log32，1） C （ ） D0，【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值域【专题】计算题；压轴题【分析】利用当 x0A，且 ff（x 0） A，列出不等式，解出 x0 的取值范围【解答】解：0 x01，f（x 0）= 1，2 ）=Bff（x 0）=f（ ）=4 2ff（x 0）A，0 42 1 0x 01故选 A【点评】本题考查求函数值的方法，以及不等式的解法，解题的关键是确定 f（x 0）的范围9设不等式组 所表示的平面区域是 1，平面区域是 2 与 1 关于直线3x4y9=0 对称，对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B，|AB|的最小值等于（）A B4 C D2【考点】简单线性规划的应用【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域 1，根据对称的性质，不难得到：当 A 点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值【解答】解：由题意知，所求的|AB| 的最小值，即为区域 1 中的点到直线 3x4y9=0 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线 3x4y9=0 的距离最小，故|AB|的最小值为 ，故选 B【点评】利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值，关键是要根据已知的约束条件，画出满足约束约束条件的可行域，再去分析图形，根据图形的性质、对称的性质等找出满足条件的点的坐标，代入计算，即可求解二、填空题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）10已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B ，C 所对的边，若 a=1，b= ，三内角A，B，C 成等差数列，则 sinA=【考点】正弦定理；等差数列的性质【专题】计算题【分析】由三角形的三个内角成等差数列，利用等差数列的性质及三角形的内角和定理求出 B 的度数，进而得出 sinB 的值，再由 a 与 b 的值，利用正弦定理即可求出 sinA 的值【解答】解：三角形内角 A，B，C 成等差数列，A+C=2B，又 A+B+C=，B= ，又 a=1，b= ，则根据正弦定理 = 得：sinA= =故答案为：【点评】此题考查了等差数列的性质，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及性质是解本题的关键11在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2+y2=4 上有且只有四个点到直线 12x5y+c=0 的距离为 1，求实数 c 的取值范围【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于半径和 1 的差即可【解答】解：圆半径为 2，圆心（0，0）到直线 12x5y+c=0 的距离小于 1，即 = 1，则 c 的取值范围是（13，13） 所求 c（13，13）【点评】此题考查了圆与直线的位置关系，圆心到直线的距离小于半径和 1 的差，此时 4个，等于 3 个，大于这个差小于半径和 1 的和是 2 个三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共 48 分）12已知向量 与 互相垂直，其中（1）求 sin 和 cos 的值；（2）若 ，求 cos 的值【考点】同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的性质及其运算律【专题】三角函数的求值；平面向量及应用【分析】 （1）根据两向量垂直，求得 sin 和 cos 的关系代入 sin2+cos2=1 中求得 sin 和cos 的值（2）先利用 和 的范围确定 的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得cos（）的值，进而利用 cos=cos（ ）根据两角和公式求得答案【解答】解：（1）与互相垂直，则 ，即 sin=2cos，代入 sin2+cos2=1 得 ，又，（2）0 ， ， ，则 cos（ ）= = ，cos=cos（ ）=coscos（ ）+sin sin（ ）= 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，两角和的余弦公式，向量的计算等考查了学生综合分析问题和解决问题的能力13已知数列a n是等差数列， bn是等比数列，且 a1=b1=2，b 4=54，a 1+a2+a3=b2+b3（1）求数列a n和b n的通项公式；（2）数列c n满足 cn=anbn，求数列c n的前 n 项和 Sn【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【专题】综合题【分析】 （1）利用等比数列的通项公式，可求确定公比，从而可求b n的通项公式，利用a1+a2+a3=b2+b3，可得数列的公差，从而可求数列a n的通项公式；（2）利用错位相减法可求数列c n的前 n 项和 Sn【解答】解：（1）设a n的公差为 d，b n的公比为 q由 =54，得 ，从而 q=3因此 （3 分）又 a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24，a 2=8从而 d=a2a1=6，故 an=a1+（n1）6=6n4（6 分）（2）令（9 分）两式相减得= （3n2）3 n= ，又 （12 分） 【点评】本题考查数列的通项，考查等差数列与等比数列的综合，考查错位相减法求数列的和，确定数列的通项是关键14已知矩形 ABCD 中， ，BC=1 以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xoy（1）求以 A，B 为焦点，且过 C，D 两点的椭圆的标准方程；（2）过点 P（0，2）的直线 l 与（1）中的椭圆交于 M， N 两点，是否存在直线 l，使得以线段 MN 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由【考点】椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；压轴题【分析】 （1）由题意可得点 A，B，C 的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得 a，进而根据 b，a 和 c 的关系求得 b，则椭圆的方程可得（2）设直线