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第3讲,函数的奇偶性与周期性,1函数的奇偶性 (1)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(x) f(x)或 f(x)f(x)0,则称 f(x)为奇函数奇函数的图象关,于原点对称,f(x)f(x,y,2)对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有_或 f(x)f(x)0,则称 f(x)为偶函数偶函数的图象关于_ 轴对称,注意:通常利用图象或定义判断函数的奇偶性具有奇偶 性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或 偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) 2函数的周期性 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得定义域内的 每一个 x 值,都满足 f(xT)f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函,数,非零常数 T 叫做这个函数的_,周期,D,A奇函数 C既是奇函数又是偶函数,B偶函数 D非奇非偶函数,2(2015年广东江门一模)下列函数中,是奇函数的是,D,Bf(x)log2x Df(x)sinxtanx,Af(x)2x Cf(x)sinx1,C,Ay 轴对称 C坐标原点对称,B直线 yx 对称 D直线 yx 对称,B,A2,B1,C1,D2,考点 1,判断函数的奇偶性,例 1:(1)(2014 年广东)下列函数为奇函数的是,答案:A,2)(2013 年广东)定义域为 R 的四个函数 yx3 ,y2x,y,x21,y2sinx 中,奇函数的个数是,A4 个,B3 个,C2 个,D1 个,答案:C,3)(2012 年广东)下列函数为偶函数的是,答案:D,4)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下,列结论恒成立的是,Af(x)|g(x)|是偶函数 Bf(x)|g(x)|是奇函数 C|f(x)|g(x)是偶函数 D|f(x)|g(x)是奇函数 解析:g(x)是 R 上的奇函数,|g(x)|是 R 上的偶函数, 从而 f(x)|g(x)|是偶函数故选 A. 答案:A,图象法:利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数 奇偶性的判断常用图象法,复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复合而成,则复合函数的奇偶数可根据若干个函数的奇偶性而定,概括为“同奇为奇,一偶则偶”; 抽象函数奇偶性的判断:应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判断,互动探究】 1若函数 f(x)3x3x 与 g(x)3x3x 的定义域均为 R,则,B,Af(x)与 g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数,g(x)为奇函数 Cf(x)与 g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数,g(x)为偶函数 解析:f(x)3x3xf(x),f(x)为偶函数而 g(x) 3x3xg(x),g(x)为奇函数,考点 2,利用奇偶性求函数值,例 2:若 f(x)(xa)(x4)为偶函数,则实数 a_. 解析:方法一:由函数 f(x)为偶函数,得 f(x)f(x)对于任 意的 x 都成立, 即(xa)(x4)(xa)(x4), x2+(a4)x4ax2(4a)x4a.a44a.a4. 方法二:由题意知,f(1)f(1),(1a)(14)(1 a)(14)a4. 答案:4,规律方法】已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的 值常常用待定系数法:先利用 f(x)f(x)0 得到关于待求参数 的恒等式,再利用恒等式的性质列方程求解,互动探究,2设函数 f(x,x1)(xa) x,为奇函数,则 a_,1,解析:f(x)为奇函数,f(1)f(1),a1,考点 3,函数奇偶性与周期性的综合应用,答案:A,互动探究】 3(2014 年新课标)已知偶函数 yf(x)的图象关于直线 x,2 对称,f(3)3,则 f(1)_,3,解析:yf(x)的图象关于直线 x2 对称,f(1)f(3) 3.又yf(x)为偶函数,f(1)f(1)3,易错、易混、易漏 判断函数奇偶性时没有考虑定义域 例题:给出四个函数,2x ylg 2x,ylg(2x)lg(2x); ylg(x2)(x2); ylg(x2)lg(x2) 其中奇函数是_,偶函数是_,正解:的定义域相同,均为(2,2),且均有 f(x) f(x),所以都是奇函数;的定义域为(,2)(2,), 且有 f(x)f(x),所以为偶函数;而的定义域为(2,), 关于原点不对称,因此该函数为非奇非偶函数,答案,失误与防范】对函数奇偶性定义的实质理解不全面易致 错对定义域内任意一个 x,都有 f(x)f(x),f(x)f(x) 的实质是:函数的定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性 的必要条件
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