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2003年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数 学(文史类) 本试卷共22道题,满分150分。考试时间120分钟。第卷 (共110分)一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。1函数的最小正周期T= .2若 .3在等差数列中,a5=3, a6=2,则a4+a5+a10= .4已知定点A(0,1),点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是 .5在正四棱锥PABCD中,若侧面与底面所成二面角的大小为60,则异面直线PA与BC所成角的大小等于 .(结果用反三角函数值表示)6设集合A=x|x|0, 则集合x|xA且= .7在ABC中,sinA;sinB:sinC=2:3:4,则ABC= .(结果用反三角函数值表示)8若首项为a1,公比为q的等比数列的前n项和总小于这个数列的各项和,则首项a1,公比q的一组取值可以是(a1,q)= .9某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 .(结果用分数表示)10方程x3+lgx=18的根x .(结果精确到0.1)11已知点其中n为正整数.设Sn表示ABC外接圆的面积,则= .12给出问题:F1、F2是双曲线=1的焦点,点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为8,由 |PF1|PF2|=8,即|9|PF2|=8,得|PF2|=1或17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,将正确的结果填在下面空格内. .二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分.13下列函数中,既为偶函数又在(0,)上单调递增的是( )Ay=tg|x|.By=cos(x).CD.14在下列条件中,可判断平面与平行的是( )A、都垂直于平面r.B内存在不共线的三点到的距离相等.Cl,m是内两条直线,且l,m.Dl,m是两条异面直线,且l,m,l,m.15在P(1,1)、Q(1,2)、M(2,3)和N四点中,函数的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点( )APBQ.CM.DN.16f()是定义在区间c,c上的奇函数,其图象如图所示:令g()=af()+b,则下 列关于函数g()的叙述正确的是( )A若a0,则函数g()的图象关于原点对称.B若a=1, 0b2,则方程g()=0有大于2的实根.C若a=2,b=0,则函数g(x)的图象关于y轴对称D若 a0,b=2,则方程g()=0有三个实根.三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.17(本题满分12分) 已知复数z1=cosi,z2=sin+i,求| z1z2|的最大值和最小值.18(本题满分12分) 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中,A1A平面ABCD,AB=4,AD=2.若B1DBC,直线B1D与平面ABCD所成的角等于30,求平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积.19(本题满分14分) 已知函数,求函数的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性.20(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通行车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱 宽l是多少? (2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设 计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小? (半个椭圆的面积公式为,柱体体积为:底面积乘以高.本题结果精确到0.1米)21(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分7分. 在以O为原点的直角坐标系中,点A(4,3)为OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于零. (1)求向量的坐标; (2)求圆关于直线OB对称的圆的方程; (3)是否存在实数a,使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点?若不存在,说明理由:若存在,求a的取值范围.22(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分.已知数列(n为正整数)是首项是a1,公比为q的等比数列. (1)求和: (2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论,并加以证明. (3)设q1,Sn是等比数列的前n项和,求: 2003年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学(文史类)答案一、(第1题至第12题)1. 2. 349 . 4. 5arctg2. 61,3.7 8的一组数). 9 102.6 .114 12|PF2|=17.二、(第13题至第16题)题 号13141516代 号CDDB三、(第17题至第22题)17解 故的最大值为最小值为.18解连结BD,因为B1B平面ABCD,B1DBC,所以BCBD.在BCD中,BC=2,CD=4,所以BD=.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30,所以B1DB=30,于是BB1=BD=2.故平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积为SABCDBB1=.19解x须满足所以函数的定义域为(1,0)(0,1).因为函数的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x,有,所以是奇函数.研究在(0,1)内的单调性,任取x1、x2(0,1),且设x10,即在(0,1)内单调递减,由于是奇函数,所以在(1,0)内单调递减.20解(1)如图建立直角坐标系,则点P(11,4.5), 椭圆方程为.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得.因此隧道的拱宽约为33.3米.(2)由椭圆方程,得故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.解二由椭圆方程,得 于是得以下同解一.21解(1)设得 所以v30,得v=8,故=6,8.(2)由=10,5,得B(10,5),于是直线OB方程:由条件可知圆的标准方程为:(x3)2+y(y+1)2=10, 得圆心(3,1),半径为.设圆心(3,1)关于直线OB的对称点为(x ,y)则故所求圆的方程为(x1)2+(y3)2=10。(3)设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点,则故当时,抛物线y=ax21上总有关于直线OB对称的两点.22解(1)(2)归纳概括的结论为:若数列是首项为a1,公比为q的等比数列,则(3)因为
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