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9.13 立体几何的综合问题知识梳理1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系.2.空间角与空间距离.3.柱、锥、球的面积与体积.4.平面图形的翻折,空间向量的应用.点击双基1.若RtABC的斜边BC在平面内,顶点A在外,则ABC在上的射影是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.一条线段或一钝角三角形解析:当平面ABC时,为一条线段,结合选择肢,知选D.答案:D2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1,从A到C1沿长方体的表面的最短距离为A.1+B.2+C.3D.2解析:求表面上最短距离常把图形展成平面图形.答案:C3.设长方体的对角线长为4,过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60,则长方体的体积是A.27 B.8 C.8 D.16解析:先求出长方体的两条棱长为2、2,设第三条棱长为x,由22+22+x2=42x=2,V=222=8.答案:B4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上,则这个球的体积是_.解析:易知球的直径2R=a.所以R=a.所以V=R3= a3.答案:a35.已知ABC的顶点坐标为A(1,1,1)、B(2,2,2)、C(3,2,4),则ABC的面积是_.解析:=(1,1,1),=(2,1,3),cos,=,sinA=.S=|sinA= .答案:典例剖析【例1】 在直角坐标系Oxyz中,=(0,1,0),=(1,0,0),=(2,0,0), =(0,0,1).(1)求与的夹角的大小;(2)设n=(1,p,q),且n平面SBC,求n;(3)求OA与平面SBC的夹角;(4)求点O到平面SBC的距离;(5)求异面直线SC与OB间的距离.解:(1)如图,= =(2,0,1),= + =(1,1,0),则|=,|=.cos=cos,=,=arccos.(2)n平面SBC,n且n,即 n=0,n=0.=(2,0,1),= =(1,1,0),即n=(1,1,2). 2q=0, p=1,1p=0. q=2,(3)OA与平面SBC所成的角和OA与平面SBC的法线所夹角互余,故可先求与n所成的角.=(0,1,0),|=1,|n|=.cos,n=,即,n=arccos.=arccos.(4)点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值,d=|= .(5)在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离,故先求与SC、OB均垂直的向量m.设m=(x,y,1),m且m,则m=0,且m=0.即 2x1=0, x=,x+y=0, y=.m=(,1),d=|= =.特别提示借助于平面的法向量,可以求斜线与平面所成的角,求点到平面的距离,类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量,以及如何由法向量求角、求距离.【例2】 如图,已知一个等腰三角形ABC的顶角B=120,过AC的一个平面与顶点B的距离为1,根据已知条件,你能求出AB在平面上的射影AB1的长吗?如果不能,那么需要增加什么条件,可以使AB1=2?解:在条件“等腰ABC的顶角B=120”下,ABC是不能唯一确定的,这样线段AB1也是不能确定的,需要增加下列条件之一,可使AB1=2:CB1=2;CB=或AB=;直线AB与平面所成的角BAB1=arcsin;ABB1=arctan2;B1AC=arccos;AB1C=arccos;AC=;B1到AC的距离为;B到AC的距离为;二面角BACB1为arctan2等等.思考讨论本题是一个开放型题目,做这类题的思维是逆向的,即若AB1=2,那么能够推出什么结果,再回过来考虑根据这一结果能否推出AB1=2.【例3】 (2004年春季北京)如图,四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB=,(1)求证:BCSC;(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成角的大小.剖析:本题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.(1)证法一:底面ABCD是正方形,BCDC.SD底面ABCD,DC是SC在平面ABCD上的射影.由三垂线定理得BCSC.证法二:底面ABCD是正方形,BCDC.SD底面ABCD,SDBC.又DCSD=D,BC平面SDC.BCSC.(2)解法一:SD底面ABCD,且ABCD为正方形,可以把四棱锥SABCD补形为长方体A1B1C1SABCD,如上图,面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA1与面BCSA1所成的二面角,SCBC,BCA1S,SCA1S.又SDA1S,CSD为所求二面角的平面角.在RtSCB中,由勾股定理得SC=,在RtSDC中,由勾股定理得SD=1.CSD=45,即面ASD与面BSC所成的二面角为45.解法二:如下图,过点S作直线lAD,l在面ASD上.底面ABCD为正方形,lADBC.l在面BSC上.l为面ASD与面BSC的交线.SDAD,BCSC,lSD,lSC.CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.(以下同解法一).(3)解法一:如上图,SD=AD=1,SDA=90,SDA是等腰直角三角形.又M是斜边SA的中点,DMSA.BAAD,BASD,ADSD=D,BA面ASD,SA是SB在面ASD上的射影.由三垂线定理得DMSB.异面直线DM与SB所成的角为90.解法二:如下图,取AB的中点P,连结MP、DP.在ABS中,由中位线定理得PMBS.DM与SB所成的角即为DMP.又PM2=,DP2=,DM2=.DP2=PM2+DM2.DMP=90.异面直线DM与SB所成的角为90.闯关训练夯实基础1.下图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A、B、C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,ABC的值为A.180 B.120C.60 D.45答案:C2.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成的角为A.arccos B.arccosC.arccosD.arccos解法一:=+,= +,=(+)(+)= .而|= = = .同理,|=.如令为所求之角,则cos=,=arccos.应选D.解法二:建立如图所示的空间直角坐标系,把D点视作原点O,分别以、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,则A(1,0,0)、M(1,1)、C(0,1,0)、N(1,1,).=(0,1),=(1,0,).故=01+0+1=,|=,|=.cos=.=arccos.答案:D3.图甲是一个正三棱柱形的容器,高为2a,内装水若干.现将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图乙所示,这时水面恰好为中截面,则图甲中水面的高度为_.解析:设正三棱柱的底面积为S,将图乙竖起得图丙,则V水=V柱V=S2a(S)2a=aS.设图甲中水面的高度为x,则Sx=aS,得x=a.答案:4.在三棱锥PABC中,底面是边长为2 cm的正三角形,PA=PB=3 cm,转动点P时,三棱锥的最大体积为.解析:点P到面ABC距离最大时体积最大,此时面PAB面ABC,高PD=2.V=42= .答案: cm35.把长、宽各为4、3的长方形ABCD,沿对角线AC折成直二面角,求顶点B和顶点D的距离.解:如图,作BEAC于E,二面角BACD为直二面角,BEAC, BE平面ADC,DE平面ADC,BEDE.在RtABC中,可得BE=,AE=,在ADE中,DE2=AE2AD22ADAEcosEAD=1624=.在RtBDE中,BD=BE2ED2=.培养能力6.已知正方形ABCD的边长为1,分别取边BC、CD的中点E、F,连结AE、EF、AF,以AE、EF、FA为折痕,折叠使点B、C、D重合于一点P.(1)求证:APEF;(2)求证:平面APE平面APF;(3)求异面直线PA和EF的距离.(1)证明:如下图,APE=APF=90,PEPF=P,PA平面PEF.EF平面PEF,PAEF.(2)证明:APE=EPF=90,APPF=P,PE平面APF.又PE平面PAE,平面APE平面APF.(3)解:在面PEF中,作PGEF,垂足为G,AP与面PEF垂直,PG平面PEF,APPG,PGEF,PG是AP与EF的公垂线.在等腰RtPEF中,PE=PF=,EPF=90,PG=EG=.7.(文)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BAD=90,ADBC,AB=BC=a,AD=2a,PA底面ABCD,PD与底面成30角.(1)若AEPD,E为垂足,求证:BEPD;(2)求异面直线AE与CD所成的角.(1)证明:以A为原点,AB、AD、AP所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,2a,0),P(0,0,a), =(a,0,0)(0,2a,a)=0,又 =0,.PDBE.(2)解:PA面ABCD,PD与底面成30角,PDA=30.过E作EFAD,垂足为F,则AE=a,EAF=60,AF=a,EF=a,E(0,a,a).于是=(0,a,a).又C(a,a,0),D(0,2a,0),CD=(a,a,0).cos,=,异面直线AE与CD所成的角是arccos.(理)四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,CDAB,AB=4,CD=1,点M在PB上,且MB=3PM,PB与平面ABC成30角,(1)求证:CM面PAD;(2)求证:面PAB面PAD;(3)求点C到平面PAD的距离.分析:本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系,同时考查向量研究空间图形的数学思想方法.如下图,建立空间直角坐标系Oxyz,C为坐标原点O,突破点在于求出相关的向量所对应的坐标.(1)证明:如图,建立空间直角坐标系.PC平面ABCD,PBC为PB与平面ABC所成的角,即PBC=30.|PC|=2,|BC|=2,|PB|=4.得D(1,0,0)、B(0,2,
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