第二章二次函数1二次函数1探索并归纳二次函数的定义2能够用二次函数表示简单的变量之间的关系3从实际情境中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，并通过合作、交流体验学习的乐趣重点能表示简单变量之间的二次函数关系难点经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程一、情境导入问题1：现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围才能使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2：很多同学都喜欢打篮球，投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？师：这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习二次函数二、探究新知1课件出示：某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式处理方式：先引导学生填写下表，再回答x/棵12345678910111213y/个2.课件出示：设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)处理方式：先让学生自主独立尝试写出y与x之间的函数表达式在独立自主探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨然后展示答案，教师对于解决问题有困难的学生从以下两个方面进行指导：(1)银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，利率是一个变量；(2)利息本金利率期数(时间)3从以上两个问题中，你发现这两个函数关系式有什么共同特征？你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？归纳总结：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 yax2bxc(其中a，b，c是常数，a0)的形式，则称y是x的二次函数(quadratic funcion)其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项三、举例分析例1 已知函数y(m2)xm222x1是二次函数，求m的值处理方式：先给学生两分钟时间独立思考尝试解答，然后指名学生板演，学生评析，老师纠正并对二次项系数重点强调例2正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QPAP交DC于点Q，如果BPx，ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y.四、练习巩固1下列函数关系中，可以看作二次函数yax2bxc(a0)模型的是()A在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D圆的周长与圆的半径之间的关系2在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R，通过的电流强度为I，则导线在单位时间所产生的热量QRI2.若某段导线电阻为0.5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q_.3某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件现在他采用提高售出价、减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式五、课堂小结1一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成yax2bxc(其中a，b，c是常数，a0)的形式，则称y是x的二次函数其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项2已知函数 yax2bxc(其中a，b，c是常数)，当a，b，c满足什么条件时，(1)它是二次函数？ (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？六、课外作业1教材第30页“随堂练习”第1、2题2教材第3031页习题2.1第14题本节课从学生非常熟悉的矩形的面积的研究出发，再结合两个生活中的实际问题，通过建立函数模型，归纳函数表达式的特点从而给出二次函数的定义，再针对二次函数的定义和能用二次函数表示变量之间的关系进行了巩固应用本节课通过丰富的现实背景，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数yx2和yx2的图象与性质1能够利用描点法作出二次函数yx2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数yx2的性质2猜想并能作出二次函数yx2的图象，并能比较它与yx2的图象的异同3经历探索二次函数yx2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验重点理解和掌握函数yx2和yx2的图象与性质难点比较yx2和yx2的图象与性质的异同一、复习导入1二次函数的定义是什么？2一次函数的图象是什么？性质是什么？3反比例函数的图象是什么？性质是什么？4画函数的图象有哪些步骤？教师提出上述问题，学生讨论后回答问题二、探究新知1画二次函数yx2的图象引导学生利用画函数的图象的步骤画出yx2的图象：(1)观察yx2的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表：xy(2)在直角坐标系中描点(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数yx2的图象2二次函数yx2的图象的性质问题1：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？问题2：当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x0时呢？问题3：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ 问题4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点问题5：你能描述图象的形状吗？处理方式：第一步出示问题1、2、3，留给学生足够的时间思考并交流后，让学生自主回答在学生回答完毕后教师点拨：这三个问题都与一个神秘的点有关，就是点(0，0)，它叫做顶点第二步出示问题4，学生自己考虑，并举手回答在学生回答完毕后教师点拨：二次函数的图象为轴对称图形，对称轴为y轴，也可写成直线x 0.所以我们以后在列表时可以对称着列出各个点的数据第三步出示问题5，学生先交流讨论后，教师利用课件动画演示并点拨：二次函数yx2的图象是一条抛物线，并且抛物线的开口向上如果你在地球的另一端向斜上方扔一件物体，就是这种样子3二次函数yx2的图象与性质问题1：回顾一下画二次函数yx2的图象的步骤，你认为画图时需要注意什么？问题2：二次函数yx2的图象是什么形状？先猜一猜，然后在教材第33页画出它的图象问题3：类比研究yx2的图象的方式，请回答：(1)你能描述yx2的图象的形状吗？开口方向呢？(2)yx2的图象的顶点坐标是什么？(3)y有最大值还是最小值？当x取什么值时，y的最值是什么？ (4)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (5)当x0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x0时呢？处理方式：先出示问题1，让学生充分回顾思考后回答：列表的选点的对称性；描点的准确性；连线的平滑性如果学生回答不全，教师可适当提示或补充再出示问题2，先让学生猜一猜，然后带着疑问画图学生画图完毕后，选取部分学生所画的图进行展示最后出示问题3、4、5，选取画图优秀的同学作业作为展示，同时出示5个问题，学生自主思考，如有困难可适当讨论，思考完毕后举手回答三、举例分析例1(1)点A(2，4)在二次函数yx2的图象上吗？(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标、关于y轴的对称点C的坐标、关于原点O的对称点D的坐标；(3)点B，C，D在二次函数yx2的图象上吗？在二次函数yx2的图象上吗？例2比较yx2与yx2的图象有什么关系？处理方式：本环节问题比较大，可先留出时间让学生充分思考后，再组织交流讨论学生可以有不同说法，只要意思正确即可教师可以分别从相同点：开口大小、对称轴、顶点；不同点：开口方向、增减性、最值，联系：轴对称性、中心对称性等方面进行引导四、练习巩固1在函数yx2上有两点(1，y1)，(3，y2)，那么y1，y2，0的大小关系是( )Ay1y20By2y10Cy1y20Dy2y102如图，边长为2的正方形ABCD的中心是直角坐标系的原点O，ADx轴，抛物线yx2和yx2分别经过点A，B，C，D，将正方形成几部分，则图中阴影部分的面积为_3已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2.(1)求S和C之间的函数表达式，并画出图象；(2)根据图象，求出S1 cm2时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C取何值时，S4 cm2.五、课堂小结1二次函数yx2和yx2的图象的画法：(1)选择适当的x值，计算相应的y的值；(2)在坐标系中描点；(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数的图象2二次函数yx2和yx2的图象与性质：函数表达式yx2yx2开口方向向上向下对称轴y轴(直线x0)增减性当x0时，y随x的增大而减小当x0时，y随x的增大而增大当x0时，y随x的增大而增大当x0时，y随x的增大而减小对称轴顶点坐标原点(0，0)最值当x0时，y有最小值为0当x0时，y有最大值为0六、课外作业教材第3435页习题2.2第1题本节课的设计力求体现使学生学会学习，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松、和谐，适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法由此我采用“问题猜想探究应用”的学科教学模式，把主动权充分地还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐第2课时二次函数yax2和yax2c的图象与性质1能画出二次函数yax2和yax2c的图象，并能够比较它们与二次函数yx2的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响2能说出二次函数yax2和yax2c图象的开口方向、对称轴及顶点坐标3理解并掌握二次函数yax2和yax2c的图象之间的关系重点掌握二次函数yax2和yax2c的图象的画法和性质难点能够比较二次函数yax2和yax2c的图象的异同，理解a与c对二次函数图象的影响一、复习导入1什么是二次函数