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第三章 交流电例1 已知某正弦交流电压为,求该电压的最大值、频率、角频率和周期各为多少?解:, , 例2 幅值为20A的正弦电流,周期为1ms,t=0时刻电流的幅值为10A。(a)求电流频率,单位为赫兹。(b)求电流频率,单位为弧度每秒。(c)求i(t)的正弦函数表达式,其中用度表示。(d)求电流的有效值。解:(a)由题意知,T=1ms;因此,。(b)。(c)由于,且i(0)=10A,所以,电流 i(t)的表达式为:A(d)例3 把下列正弦量的时间函数用相量表示:(1) u10sin314tV (2) i5sin(314t60)A解:(1)=10/0 V (2)=5/60 A例4 写出下列各相量所对应的正弦量解析式,设角频率为。(1) (2)(3) (4)解:(1)A(2) V(3) A(4) V例5 图示是时间t=0时电压和电流的相量图,并已知U220V,I110A,I2 A,试分别用解析式及复数式表示各正弦量。解:由图可知:例6 已知i1100 sin(t45)A,i260 sin(t30)A。试求总电流 iii,并做出相量图。解:由正弦电流i1和 i2的频率相同,可用相量求解: (1)先作有效值相量=100/45A,=60/30A(2)用相量法求和电流的有效值相量,相量图如图所示。+100/4560/30129/18.4 (A)(3)将和电流的有效值相量变换成电流的瞬时值表达式i129 sin(t18.4) (A) 例7 把一个100的电阻元件接到频率为50Hz ,电压有效值为10V的正弦电 源上,问电流是多少?如保持电压值不变,而电源频率改变为5000 Hz, 这时电流将为多少?解: 因为电阻与频率无关,所以电压有效值保持不变时,频率虽然改变但电流 有效值不变。 即 I=U/R=(10/100)A=0.1=100mA例8 若把上题中的,100的电阻元件改为25F的电容元件,这时电流又将 如何变化?解:当f=50Hz时XC127.4()I=0.078(A)=78(mA)当f=5000Hz时XC1.274()I=7.8(A)可见,在电压有效值一定时,频率越高,则通过电容元件的电流有效值越大。例9 一电炉电阻为100,接到的交流电源上,求电炉电 流的瞬时值,有效值,写出电流的相量表达式。解:电炉属于纯电阻负载,因此,例10把一个电感量为0.35H的线圈,接到V的电源上,求线圈中电流瞬时值表达式。解:由线圈两端电压的解析式V可以得到V,rad/s, 电压u所对应的相量为V线圈的感抗为因此可得A因此通过线圈的电流瞬时值表达式为A例11把电容量为40F的电容器接到交流电源上,通过电容器的电流为A,试求电容器两端的电压瞬时值表达式。解:由通过电容器的电流解析式A可以得到A,rad/s, 电流所对应的相量为A电容器的容抗为因此V电容器两端电压瞬时表达式为V例12 用下列各式表示RC串联电路中的电压、电流,哪些是对的,哪些是错的?(1) i= (2) I= (3) = (4) I=(5) U=UR+UC (6) =+ (7)=j (8)= j解:在R、C串联电路中,总阻抗而 , , , , 所以 (1)、(2)、(3)、(5)、(7)、(8)均是错的,(4)、(6)是对的。例13 有一线圈加上30V直流电压时,消耗有功功率150W,当加上220V交流电压时,消耗有功功率为3173W。求该线圈的电抗?解:在直流电源作用时,交流电源作用时,例14 如图,U1=40V,U2=30V,i=10sin314t A,则U为多少?并写出其瞬 时值表达式。 解:由电路图可知,电压u1与电流i同方向,而电压 u2超前电流i900,所以 电压u超前电流i的电度角 例15在RLC串联电路中,若电源电压V,求:电路的电流、电阻电压、电感电压和电容电压的相量。解:由于 V所以 V因此 例16有一RLC串联的交流电路,已知,试求其两端的电压U。解:因为是RLC串联交流电路,因此 Z=10而 所以 U=ZI=例17有一RLC串联电路,已知,mH,F,电源电压为V,试求:(1)电流i的瞬时值。(2)R、L、C元件上电压的瞬时值。(3)画出相量图。解:(1)为了求出i的瞬时值,先求出阻抗Z因 又 所以 求出电流的有效值: 阻抗角: 即电流滞后于总电压,所以电流的瞬时值为A(2)各元件上的电压有效值为因为与同相,所以=超前,所以=滞后,所以 =(3)根据计算所得结果作相量图如图。例18 某RLC串联电路中,电阻为40,线圈的电感为233 mH,电容器的电容为80F,电路两端的电压u=311sin314t(V)。求:(1)电路的阻抗值;(2)电流的有效值;(3)各元件两端电压的有效值;(4)电路的有功功率、无功功率、视在功率;(5)电路的性质。解:(1) (2) (3) (4) (5)由于,电路呈电感性质。例19 图示电路中,已知u100sin(314t+30)伏,i22.36sin(314t+19.7)安, i10sin(314t+83.13)安,试求: i1、Z1、Z2并说明Z1、Z2的性质,绘 出相量图。 解:由题知, 所以即Z1为感性负载,Z2为容性负载。例20一只日光灯和一只白炽灯并联接在f=50Hz、电压U=220V的电源上,如 图所示,日光灯的额定电压UN=220V,取用功率P1=40W,其功率因数 cos1=0.5;白炽灯的额定电压UN=220V,消耗功率P2=60W。求电流I1、 I2和总电流I大小是多少?解:日光灯支路的电流 由于cos1=0.5,所以1=,即比滞后。设电压相量为参考相量,令=220,则电流I1的相量A白炽灯支路的电流白炽灯为电阻性负载,cos2=1,与同相位。所以电流I2的相量A在并联电路中有 所以(+)A=(0.1815-j0.314)+0.272A=(0.4535-j0.314)A=0.552A因此有 I=0.552A cos= cos()=0.822各电流与电压的相量图如图所示。例21 图示电路,已知电路谐振时,表A1读数为15A,表A读数为9A,求表A2的读数。 解:谐振时的相量图如图所示,因此:例22 电路如图所示,已知=2rad/s,求电路的总 阻抗Zab。解:=2rad/s 例23 图示电路中,已知R140,XL=30,R260,Xc60,接至220V 的电源上试求各支路电流及总的有功功率、无功功率和功率因数。解:设 则 同理 例24 今有一个40W的日光灯,使用时灯管与镇流器(可近似把镇流器看作纯电 感)串联在电压为220V,频率为50Hz的电源上。已知灯管工作时属于纯电阻负载,灯管两端的电压等于110V,试求镇流器上的感抗和电感。这时电路的功率因数等于多少?若将功率因数提高到0.8,问应并联多大的电容?解: =314rad/s 由于灯管与镇流器是串联的,所以设并联电容前功率因数角为,并联后为,则 所以,若将功率因数提高到0.8,应并联的电容为 例25 一个负载的工频电压为220V,功率为10kW,功率因数为0.6,欲将功率 因数提高到0.9,试求所需并联的电容。解:当所以例26在电阻、电感、电容串联谐振电路中,L=0.05mH,C=200pF,品质因数 Q=100,交流电压的有效值U=1mV。试求:(1)电路的谐振频率f0。(2)谐振时电路中的电流I。(3)电容上的电压UC。解(1)电路的谐振频率MHz(2)由于品质因数故 谐振时,电流为mA(3)电容两端的电压是电源电压的Q倍,即V例27收音机的中频放大耦合电路是一个线圈与电容器并联谐振回路,其谐振频率为465kHz,电容C=200pF,回路的品质因数Q=100。求线圈的电感L和电阻R。解:因为Q1,所以电路的谐振频率为因此,回路谐振时的电感和电阻分别为H例28 在图示电路中,已知,试用节点电压法求各支路电流。 解 在应用相量法时,除用相量解析式计算外,还可利用相量图来分析计算。例29 图示电路,求。解:移去待求支路a-b,如图(a)所示。作戴维南等效电路,并接入移去支路,如图 (b)所示
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