射影几何的诞生与发展一从透视学到射影几何1在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？2由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科-透视学的兴起( 文艺复兴时期：普遍认为发端于 14 世纪的意大利，以后扩展到西欧，16 世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。3数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的论绘画一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。4对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。1639 年发表试论锥面截一平面所得结果的初稿 ，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。5数学家帕斯卡（1623-1662）16 岁就开始研究投射与取景法，1640 年完成著作圆锥曲线论 ，不久失传，1779 年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线6画家拉伊尔（1640-1718）在圆锥曲线 （1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。7德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在 17 世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点：1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状2）变换与变换不变性3）几何新方法-仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量二 射影几何的繁荣1在 19 世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于 18 世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到 18 世纪末 19 世纪初，蒙日的画法几何学及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867）2庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812 年莫斯科战役被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。获释后他整理出版了论图形的射影性质 ，这部著作立即掀起了 19 世纪射影几何发展的巨大波澜，带来了这门学科历史的黄金时期3庞斯列利用连续性原理引入虚元素，强调对偶原理，深入研究了极点与极线的概念，给出了极点到极线和从极线到极点的变换的一般表述4在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家莫比乌斯在重心计算 （1827）一书中第一次引进了齐次坐标，后被普吕克发展为更一般的形式。这种代数方法遭到了以庞斯列为首的综合派学者的反对，因此 19 世纪的射影几何就是在综合派的与代数的两大派之间的激烈争论中前进的，支持庞斯列的还有斯坦纳 沙勒 和施陶特51850 年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已经作出区别，但对这两种几何的逻辑关系不甚了了。即使综合派的著作中也仍然用长度的概念，实际上长度不是射影概念。施陶特在 1847 年的位置几何学中提出一套方案，给交比以重新定义： ，这样施陶特不借助长度概念就得到了423413/xx建立射影几何的基本工具，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新的学科，施陶特还指出：射影几何的概念在逻辑上要先于欧氏几何的概念，因而射影几何比欧氏几何更基本。6施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱（1821-1895）和普吕克的学生克莱因进一步在射影几何概念基础上建立欧氏几何与非欧氏几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学铺平了道路。三 几何学的统一1统一几何学的第一大胆计划是由德国数学家克莱因（1849-1925）提出的，1872 年，克莱因在爱尔朗根大学任数学教授就职演讲爱尔朗根纲领中阐述了几何学统一的思想。 （射影几何，仿射几何，欧氏几何）当然，并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，如代数几何，微分几何。2克莱因 1886 年受聘于哥廷根大学担任教授，因为这位创造性天才和组织能力完美结合的他的到来，使得哥廷根大学更富科学魅力.希尔伯特就是被克莱因引向哥廷根的最重要的年轻数学家 1862-1943，他提出了另一条统一几何学的途径-公理化方法。3.公理化方法始于欧几里得，然而当 19 世纪数学家们重新审视原本中的公理体系时，却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就迫使他们着手重新建立欧氏几何以及其他包含同样弱点的几何的基础。其中希尔伯特在几何基础 （1899）中使用的公理化方法最为成功。第一章 仿射坐标与仿射变换本章将主要介绍仿射变换的概念，并在仿射坐标系下研究图形的仿射不变量和仿射不变性。 1 透视仿射对应定义 1.1 共线三点的 A，B，C 的单比表示为（ABC） ，且（ABC）=AC，BC 是有向线段的数量，其中，点 AB 称为基点， C 称为分点。显然，当 C 在 A，B 之间时， （ABC ）0；否则， （ABC）0。当 C 为线段 AB 中点时， （ABC ）= 1。当 A 与 C 重合时， （ABC）=0；B 与 C 重合时， （ABC）不存在。定义 1.2 在一平面上设有直线 l 和 l,m 为此平面上与 l 和 l均不平行的方向直线,通过直线 l 上任意一点 A,作与 m 平行的直线,交 l于 A,这样得到的直线 l 上点到 l上点的一一对应,称为透视仿射对应. 若直线 l 与 l相交，则交点是自对应点或二重点（不变点） 。显然，两直线间的透视仿射对应，与方向直线有关，不同的方向决定不同的对应关系。仿上述定义，可定义两平面 和 间的透视仿射对应。 若平面 和 相交于直线 l，则直线 l 上的每个点都是透视仿射对应下的自对应点，直线 l 叫做透视轴，简称轴。当平面 和 平行时，则不存在透视轴。透视仿射对的性质：（1）透视仿射对应保持结合性透视仿射对应使点对应点，直线对应直线，这种性质称为同素性。（2）透视仿射对应保持结合性点 A 在直线 a 上，经过透视仿射对应后，对应点 A 在对应直线 a上，也就是说，点和直线的结合关系在透视仿射对应下保持不变。（3）透视仿射对应保持共线三点的单比不变若平面 内共线三点 A，B，C 经过透视仿射对应后在平面 上的象是 A，B，C，则（ABC ）= （A BC） 。证明 由于 AABBCC ，所以有= B即 （ABC）=（ABC） （4）透视仿射对应保持二直线的平行性证明 设平面 内两直线 ab，经过透视仿射对应后，在平面 内的象分别为 a b假设，a 与 b不平行，且 ab=P ，那么 P 的原象P 在 上。由点和直线的结合性，点 P 一定同时在直线 a 和 b 上，即 ab=P，这与 ab 矛盾。透视仿射对应的性质：（1）保持同素性；（2）保持点和直线的结合性；（3）保持共线三点单比不变；（4）保持二直线的平行性。2 仿射对应与仿射变换定义 2.1 设同一平面内有 n 条直线 a1，a 2，a n，1,2,n,顺次表示 a1 到 a2 ，a 2 到 a3， 。 。 。 ，a n-1 到 an 的透视仿射对应，经过这一串透视仿射对应，使 a1 上的点与 an 上的点建立了一一对应，这个对应称为 a1 到 an 的仿射对应，用表示，于是有=n-1n-221如果直线 a1 与 an 重合，则 a1 到 an 的仿射对应叫做 a1 到直线自身的仿射变换。仿此，可定义两平面间的仿射对应。所以两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果。若两平面重合，仿射对应称为仿射变换。仿射对应和仿射变换都是一串透视仿射对应的乘积。因此有下列性质：（1） 保持同素性和结合性；（2） 保持共线三点单比不变；（3） 保持直线的平行性。定义 2.2 若两个平面间（平面到自身）的一个点对应（变换）保持同素性，结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换） 。注意：平行四边形经过仿射对应（变换）后，对应图形仍为平行四边形；两条平行线段经过仿射对应（变换）后，其长度之比不变。根据定义 2。1，由透视仿射对应的性质，显然，透视仿射对应当1 与 n 重合时，仿射对应称为平面 1 到自身的仿射变换。不难证明，仿射对应和仿射变换保持直线的平行性；而且，两条平行线段的长度之比经仿射对应（变换）后不改变。平行四边形经仿射对应和仿射变换后仍为平行四边形。1.3 仿射坐标3.1 仿射坐标系设 O - xy 为平面内笛卡儿坐标系，E（1，1 ）为单位点，P（x,y）是平面上一点。E ，E ，P 1，P 2 分别为过 E，P 所做 与 y2轴和 x 轴平行的直线与 x 轴和 y 轴的交点。则 O E1EE 和 O P1P 2P2 均为平行四边形。经过一个仿射对应后，坐标系 O - xy 的对应图形为 O - xy，E ，E ，E ，P，P 1，P 2 的对应点依次为 12E，E 1， E2，P，P 1，P 2，则 OE 1E E 2和 OP 1PP 2也都是平行四边形。在新坐标系 O - xy 中，选取 E为单位点（1，1） ，设点P在此坐标系下的坐标为（x,y） 。因为x = =(P1E1O) , x = = (P1E 1O ) , 1Py= =(P2E2O) , y = =(P2E 2O ) OP2又因为仿射对应保持单比不变，所以有x = x , y = y定义 3.1 笛卡儿坐标系在仿射对应(变换)下的象叫做仿射坐标系。(x ,y ) 叫点 P在仿射坐标系下的坐标，记做：P（x,y ） 。现在我们可以用坐标来表示共线三点单比。若用 e1，e 2表示 ，则仿射坐标系表示为 O - yxEOe1e 2，则有 = xe 1+ye 2P仿射坐标系是笛卡儿坐标系的推广，两坐标轴上的测量单位不一定相等，笛卡儿坐标系是仿射坐标系当两轴上测量单位相等时的特殊情况。定理 3.1 设共线三点 Pi (i=1,2,3)的仿射坐标顺次为（ xi，y i）(i=1,2,3)则单比(P1P2P3)= 23121yx证明 2312313231321321321)( xOEPOPxXxxxXX同理，(P1P2P3)= 21y定理 3.2 在仿射坐标系下，经过两点 P1（x 1,y1）P 2（x 2,y2）的直线的方程为 0121yx证明 在直线 P1P2 上任取一点 P（x,y） ，则有231231yx即 0121yx反之，凡满足上述方程的 x,y，所对应的点 P（x,y）必在直线P1P2 上。所以上述方程是经过两点 P1（x 1,y1）P 2（x 2,y2）的直线的方程。由此可知，在仿射坐标系下，直线的方程是一次方程 Ax+By+C=0 (A2+B20)反之，一次方程 Ax+By+C=0 (A2+B20) 的图形一定是直线。3.2 仿射变换的代数表示设有一个仿射变换 T，将 仿射坐标系 O e 1e2 变为 O e1e