1空间向量在几何体中例题1 如图，在四棱椎 P-ABCD 中，PD 底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，PD=DC,E、F 分别是 AB、 PB 的中点。（1）求证：EFCD ；（2）证明：PA/ 平面 DEF3已知四棱锥 的底面为直角梯形， ，PABCD/ABDC底面 ，且 ，D,90 12P， 是 的中点。1ABM（）证明：面 面 ；（）求 与 所成的角；（）求面 与面 所成二面角的大小。CBFED CBAP216（本题满分 14 分）求 ax2+2x+1=0（ a0）至少有一负根的充要条件。6（本题满分 14 分）解:若方程有一正根和一负根，等价于 a0 12x若方程有两负根，等价于 0a14201a综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是 a0 或 0a1由以上推理的可逆性，知当 a0 时方程有异号两根；当 0a1 时，方程有两负根故 a0 或 0a1 是方程 ax2+2x+1=0 至少有一负根的充分条件所以 ax2+2x+1=0（a0）至少有一负根的充要条件是 a0 或 0a15如图，在长方体 ，中， ，点 在棱 上移1ABCD1,2ADBEAD（1）证明： ；1E（2）当 为 的中点时，求点 到面 的距离；E1C（3） 等于何值时，二面角 的大小为 .A1D4解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴，D1,A,xyz建立空间直角坐标系，设 ，则Ex1(,0)(),(0),(1),(02,)ExAC（1） .,),(, 11 D所 以因 为（2）因为 为 的中点，则 ，从而 ，AB(0) )0,21(),(1，设平面 的法向量为 ，则)1,0(1D1CD,cban,1AnC也即 ，得 ，从而 ，所以点 到平面 的距离为2cabcab2)2,1(ED.31|1nEh3（3）设平面 的法向量 ，1DEC),(cban,10),120(),2,(Dx由 令 ， .)(,1xbacEn ,2,bcax ).2(x依题意 .25)(2|4cos 21 xDn （不合，舍去） ， .321x 3 时，二面角 的大小为 .AE1EC46如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， 是 上PBDABPDABCE一点， . 已知FC,21,2求（）异面直线 与 的距离；E（）二面角 的大小.解：（）以 为原点， 、 、 分别为ACP轴建立空间直角坐标系.,xyz由已知可得 (0,)(,2),(0,)DP设 ,xBA则由 ，).,23(),21,()21( CEEx 0CEPE得即 由 ，.3,043x故 DD 得),23(0,1又 ，故 是异面直线 与 的公垂线，易得 ，故异面直线PDEPE1|E, 的距离为 .C1（）作 ，可设 .由 得G(0,)yz0CG0)2,(),zy4即 作 于 ，设 ，),210(,2DGyz故 可 取 EFPC(0,)Fmn则 ).,3(nmEF由 ，021,0)2,(),21,(0 nPC即得又由 在 上得F ).,3(,1,EFnmn故因 故 的平面角 的大小为向量 的夹角.,PCDGEEDDG与故 即二面角 的大小为,4,2|cosFPC.47如图：ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PA=AD，M、N 分别是 PC、AB 中点，求证：MN平面 PCD.(12 分) ., ;0)|(21|(21)(21;0)0,0, )(21)(21)(21., 2PCDMNPDCMNDAacacPbbbaABACDPacDC cababMNaP平 面又故 且 矩 形则 为 空 间 的 一 个 基 底则设 8如图 2，正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ，求 与侧面1ABa1AC所成的角1AB解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 113(0)(0)(2)2， aaAaC5由于 是面 的法向量，(10)，n1AB11 132cos 60aCAAC， nn故 与侧面 所成的角为 11B309如图 3，直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱1ABC 90ACB分别是 与 的中点，点 在平面 上的射影是12ADE， ED的重心 ，求点 到平面 的距离B G1D解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，2CAa则 1 21(20)(20)()(0)(1)3aAaaEG，从而 (2)3GEBDa，由 ，得 ，01则 1(20)()()AE，自 作 面 于 ，并延长交 面于 ，设 ，HDMxOyH(0)xy则 1(2)xy，又 ， 0A(1)AE，由 得 120()HDxy 1xy，(0)H，又 11cosAMA，11426cos3A，10（本题满分 15 分）直线 ： 与双曲线 ： 相交于不同的 、lykxC21xyA6两点。B（1）求 AB 的长度；（2）是否存在实数 ，使得以线段 为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出kAB的值；若不存在，写出理由。k10 解：联立方程组 消去 y 得 ，因为有两个交点，132xay0232ax所以 ，解得 。084322a 2212122 3,3,6ax且(1) )36(3524)(11 224121221 aaxxaxaAB 且。(2)由题意得 0)1(,0, 212121 xykoba 即即整 理得 ,12 a符 合 条 件 ， 所 以