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指数函数例题解析第一课时【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域:解 (1)定义域为x|xR且x2值域y|y0且y1(2)由2x+210,得定义域x|x2,值域为|y|y0(3)由33x-10,得定义域是x|x2,033x13,1.指数函数Y=ax (a0且a1)的定义域是R,值域是(0,+)2. 求定义域的几个原则:含根式(被开方数不为负)含分式,分母不为形如a0,(a 0)3. 求函数的值域:利用函数Y=ax单调性函数的有界性(x20;ax0)换元法.如:y=4x+62x-8(1x2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)【例2】(基础题)指数函数yax,ybx,ycx,ydx的图像如图262所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 Aab1cd Bab1dcC ba1dc Dcd1ab 解 选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得ba1dc【例3】(基础题)比较大小:(3)4.54.1_3.73.6解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.14.53.6,作函数y14.5x,y23.7x的图像如图263,取x3.6,得4.53.63.73.6 4.54.13.73.6说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1)若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2)其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3)例题4(中档题)9 【例5】(中档题)作出下列函数的图像:图像变换法(3)y2|x-1| (4)y|13x|解 (2)y2x2的图像(如图265)是把函数y2x的图像向下平移2个单位得到的 解 (3)利用翻折变换,先作y2|x|的图像,再把y2|x|的图像向右平移1个单位,就得y2|x-1|的图像(如图266)解 (4)作函数y3x的图像关于x轴的对称图像得y3x的图像,再把y3x的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到(如图267)例6(中档题) : 用函数单调性定义证明:当a1时,y = ax是增函数.【解析】设x1,x2R且x1x2,并令x2 = x1 + h (h0,hR),很独特的方式则有,a1,h0,即故y = ax (a1)为R上的增函数,同理可证0a1时,y = ax是R上的减函数.指数函数与二次函数的复合函数(由内到外分析)二次函数为内层函数,指数函数为外层函数例题7中档题)变式1 求函数y=()的单调区间,并证明之.解法一(在解答题):在R上任取x1、x2,且x1x2,则=()(x2x1)(x2+x12) 【()为底数,红色部分为指数】 , x1x2,x2x10.当x1、x2(,1时,x1+x220.这时(x2x1)(x2+x12)0,则1.y2y1,函数在(,1上单调递增.当x1、x21,+)时,x1+x220,这时(x2x1)(x2+x12)0,即1.(此处点评:上述证明过程中,在对商式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性) y2y1,函数在1,+上单调递减. 综上,函数y在(,1上单调递增,在1,+)上单调递减.合作探究:在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦,因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题. 解法二、在填空、选择题中(用复合函数的单调性):设: 则:对任意的,有,又是减函数 在是减函数对任意的,有又是减函数 在是增函数在该问题中先确定内层函数()和外层函数()的单调情况,再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.变式2 已知且,讨论的单调性. 【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题,指数,当时是减函数,时是增函数,而的单调性又与和两种范围有关,应分类讨论.【解析】设,则当时,是减函数, 当时,是增函数,又当时,是增函数,当时,是减函数,所以当时,原函数在上是减函数,在上是增函数.当时,原函数在上是增函数,在上是减函数.【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数,则其复合函数是增函数;如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数,但一定注意考虑复合函数的定义域. 第二课时例题8:(疑难题)指数函数与二次函数的复合函数 换元法 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元u的范围)当x0时,函数y有最大值为1内层指数函数u=(1/2)x为减,当u在(0,1/2】时,此时外层二次f(u)为减函数,即x在【1,正无穷大),则复合函数为增(画草图分析法) 点评:(1)指数函数的有界性(值域):x20; ax0 (2)上述证明过程中,在两次求x的范围时,逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性,是关键及疑难点。变式: 求(3)的值域.解 y且.故的值域为.【小结】求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性.例题9 (中档题)分式型指数函数 (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求f(x)的值域; (3)证明f(x)在区间(,)上是增函数解 (1)定义域是R函数f(x)为奇函数反函数法,用指数函数值域 即f(x)的值域为(1,1)(3)设任意取两个值x1、x2(,)且x1x2 f(x1)f(x2)变式1 设a是实数, 试证明对于任意a,为增函数;证明:设R,且 则 由于指数函数y=在R上是增函数,且,所以 即0得 +10, +10所以0即因为此结论与a取值无关,所以对于 a取任意实数,为增函数例题10(中档题)抽象函数例题10变式1(疑难题) 第三课时复合函数作业课本:课本P 习题
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