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指数函数、对数函数及幂函数.指数与指数函数1.指数运算法则:(1);(2);(3);(4);(5)(6)2. 指数函数:指数函数 0a1图 象表达式定义域值 域过定点单调性单调递减单调递增【基础过关】类型一:指数运算的计算题此类习题应牢记指数函数的基本运算法则,注意分数指数幂与根式的互化,在根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数运算较为方便1、的平方根是_2、 已知,则的值为( )A B C D3、化简的结果是( ) A、 B、 C、D、4、已知,求:=_ 5、已知,求(1)=_(2)=_6、若,其中,则_类型二:指数函数的定义域、表达式指数函数的定义域主要涉及根式的定义域,注意到负数没有偶次方根;此外应牢记指数函数的图像及性质函数的定义域与的定义域相同1、若集合A=,B=_ 2、如果函数的定义域是,那么函数的定义域是_ 3、下列函数式中,满足f(x+1)=f(x)的是( ) A、B、C、 D、 4、若,则实数的取值范围是( ) A、B、C、D、任意实数类型三:复合函数形如的方程,换元法求解函数的定义域与的定义域相同先确定的值域,再根据指数函数的值域,单调性,可确定的值域涉及复合函数的单调性问题,应弄清函数是由那些基本函数符合得到的,求出复合函数的定义域,然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间,注意“同增异减”(1) 外函数是二次函数,内函数是指数函数1、求函数的值域2、当时,函数的最大值是_,最小值是_ 3、已知,求f(x)=的最大值是_,最小值是_ (2)外函数是指数函数,内函数是二次函数1、函数y=() (-3)的值域是_,单调递增区间是_ 2、已知函数y=(),求其单调区间_及值域_ 类型四:奇偶性的判定 利用奇偶性的定义,注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分 1、函数是( ) A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数 2、已知函数f(x)= (1)判断函数的奇偶性;(2)求该函数的值域;(3)证明f(x)是R上的增函数。3、设aR,f(x)= ,试确定a的值,使f(x)为奇函数类型五:分类讨论思想在指数函数中的应用1、已知,且,解不等式 2、已知f(x)=,g(x)= (a0且a1),确定x的取值范围,使得f(x)g(x). .对数与对数函数1、对数的运算:1、 互化:2、 恒等:3、 换底: 推论1 推论2 推论3 4、 5、2对数函数:对数函数 0a1图 象表达式定义域值 域过定点(1,0)单调性单调递减单调递增【基础过关】类型一:对数的基本运算此类习题应牢记对数函数的基本运算法则,注意常用对数:将以10为底的对数叫常用对数,记为自然对数:以e=2.71828为底的对数叫自然对数,记为零和负数没有对数,且1、(1)、 (2)、 (3)、 2、已知,求 的值类型二:指数,对数的混合运算指数函数与对数函数的图象与性质1、若则_ 2、若且,则不等式的解集为_ 3、已知且,则A的值是_ 4、已知,那么用表示是( ) A、 B、 C、 D、 【能力提升】类型三:对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法,形如的复合函数可分解为基本初等函数,分别确定这两个函数的定义域。1、函数的定义域是_ 2、已知,则=_ 3、已知,那么=_ 类型四:对数函数的值域注意复合函数的值域的求法,形如的复合函数可分解为基本初等函数,分别确定这两个函数的定义域和值域。1. 函数的值域是_ 2. 设,函数在区间上的最大值与最小值之差为,则=_ 3. 函数在上最大值和最小值之和为,则的值为_ 类型五:对数函数的单调性、奇偶性1、函数的单调递增区间是_ ; 函数的递增区间是_ 2、下列各函数中在(0,1)上为增函数的是( )A. B. C. D.3、函数的图像关于( )A、轴对称 B、轴对称 C、原点对称 D、直线对称4、函数是 (奇、偶)函数。5、已知函数,判断的奇偶性和单调性。类型六:对数中的不等关系比较同底数的两个对数值的大小;比较两个同真数的对数值的大小1、设,则的大小关系是_ 2、设则的大小关系是_3、如果,那么的取值范围是_ 4、如果,那么的关系是( ) A. B. C. D. 5、已知,则不等式解集为_ 6、若在上恒有,则实数的取值范围是_ 类型七:其它题型(奇偶性,对数方程,抽象函数)1、设是奇函数,则使的的取值范围是_2、已知集合,若则实数的取值范围是,其中= _. 3、若满足2x+=5, 满足2x+2=5, +( ) A. B.3 C. D.4幂函数一、幂函数图象的作法:根据幂函数的定义域、奇偶性,先作出其在第一象限的图象,再根据其奇偶性作出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为或(、,、互质)的形式,先化为,或的形式,再确定函数的定义域、奇偶性、单调性等性质,从而能比较准确地作出幂函数的图象.二、幂函数图象的类型:(共有11种情况)奇函数、都是奇数偶函数是奇数,是偶数非奇非偶函数是偶数,是奇数三、幂函数图象特征:(1)当时,在第一象限内,函数单调递减,图象为凹的曲线;(2)当时,图象是一条不包括点(0,1)的直线;(3)当时,在第一象限内,图象单调递增,图象为凸的曲线;(4)当时,图象是一、三象限的角平分线;(5)当时,在第一象限内,图象单调递增,图象为凹的曲线.(6)幂函数图象不经过第四象限;(7)当时,幂函数的图象一定经过点(0,0)和点(1,1)(8)如果幂函数的图象与坐标轴没有交点,则;(9)如果幂函数(、都是正整数,且、互质)的图象不经过第三象限,则可取任意正整数,、中一个为奇数,另一个为偶数.四、幂函数典型问题:1概念问题:【例1】1已知幂函数,当时为减函数,则幂函数_【变式】当m为何值时,幂函数y=(m2-5m+6)的图象同时通过点(0,0)和(1,1).2定义域问题:【例2】函数的定义域为 【变式】.求函数y=的定义域.3单调性问题:【例3】已知,求实数的取值范围. 【变式1】讨论函数的单调性.【变式2】讨论函数的定义域、奇偶性和单调性4图象问题:【例4】若函数的图象与坐标轴没有交点,且关于轴对称,求函数的解析式.【例5】利用函数的图象确定不等式的解集:(1) 不等式的解集为 (2) 不等式的解集为 说明:先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象,并确定交点的坐标,从而能较容易地写出不等式的解集5函数图象的平移、对称、翻折变换问题:说明:很多较复杂函数的图象,都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折变换而得到; 【例6】作出下列函数的大致图象,并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间.(1) (2)(3), (4), (5) (6) 【例7】已知幂函数是偶函数,且在区间上单调递增,若,则实数的取值范围是 .6.比较幂函数值大小【例8】比较,的大小.【例9】已知幂函数, , , 在第一象限内的图象分别是C1,C2,C3,C4,(如图),则n1,n2,n3,n4,0,1的大小关系?
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