第2讲导数的应用(一,知 识 梳 理 1函数的单调性与导数的关系 已知函数f(x)在某个区间(a，b)内可导， (1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内 ； (2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内,单凋递增,单调递减,2函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧，右侧 ，那么f(x0)是极小值,f(x)0,f(x)0,2)求可导函数极值的步骤 求f(x)； 求方程f(x)0的根； 检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点,极大值,3函数的最值与导数 设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,f(a)，f(b,感悟提升 1一点提醒 函数最值是“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念，极大值与极小值没有必然的大小关系 2两个条件 一是f(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件，如(1) 二是对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件，如(4,3三点注意 一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则 二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点处取到 三是求最值时，应注意极值点和所给区间的关系， 关系不确定时分类讨论，不可想当然认为极值就是最值,规律方法 求可导函数f(x)的单调区间的一般步骤：第一步，确定函数的定义域；第二步，求导数f(x)；第三步，解不等式f(x)0，得f(x)的单调递增区间，解不等式f(x)0，得f(x)的单调递减区间,规律方法 (1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同 (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值,2)由(1)知f(x)x312xc， f(x)3x2123(x2)(x2) 令f(x)0，得x2或2. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表,由表知f(x)在x2处取得极大值，f(2)16c； 在x2处取得极小值f(2)c16. 则16c28，得c12， 故f(x)在3,3上的最小值为f(2)4,规律方法 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得,1求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小 2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点取得,思想方法3分类讨论思想在导数中的应用 【典例】 (2013浙江卷)已知aR，函数f(x)2x33(a1)x26ax. (1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)若|a|1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值 解(1)当a1时，f(x)6x212x6， 所以f(2)6. 又因为f(2)4，所以切线方程为6xy80,2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值 由题意知f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa) 令f(x)0，得到x1或a. 当a1时,反思感悟 (1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法 (2)本题的难点是分类讨论，除了比较两个根1与a的大小外，还须比较f(0)与f(a)的大小