第9讲函数模型及其应用,1函数模型及其性质比较 (1)几种常见的函数模型,2)三种函数模型性质比较,辨 析 感 悟 1关于函数模型增长特点的理解 (1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大() (2)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻() (3)幂函数增长比直线增长更快(,2常见函数模型的应用问题 (4)(2013长春模拟改编)一个体积为V的棱锥被平行于底面的平面所截，设截面上部的小棱锥的体积为y，截面下部的几何体的体积为x，则y与x的函数关系的图象可以表 示为 (,5)(2014济宁模拟改编)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y3 00020 x0.1 x2，x(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是150台(,感悟提升 一个区别三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个x0，使xx0时，有axxnlogax(a1，n0)如(1)中当2x4时，2xx2；如(2)中没强调b1；如(3)，举例yx 与yx，当x1时，yx 比yx增长慢,考点一利用图象刻画实际问题 【例1】 (2013湖北卷改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是_,解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线段，且距离学校越来越近，故排除.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除. 答案,规律方法 抓住两个变量间的变化规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可,训练1】 如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有_,解析将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图应该是匀速的，故下面的图象不正确，中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化率逐渐变慢，然后逐渐变快，正确；中的变化率逐渐变快，然后逐渐变慢，也正确，故只有是错误的 答案,考点二二次函数模型 【例2】 A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度 (1)求x的取值范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少,规律方法 二次函数模型的应用比较广泛，解题时，根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题,规律方法 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函数 (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值,训练3】 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有,这种消费品的进价为每件14元；该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；每月需各项开支2 000元 (1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫,1认真分析题意，合理选择函数模型是解决应用问题的基础 2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域 3注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性,反思感悟 (1)函数模型应用不当是常见的解题错误，所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础； (2)本题中有的学生不能把炮弹击中目标转化为关于k的一元二次方程有正根问题，导致失分,答题模板解函数应用题的一般程序： 第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性