第2讲函数的单调性与最值,知 识 梳 理 1函数的单调性 (1)单调函数的定义,f(x1)f(x2,f(x1)f(x2,下降的,2)单调区间的定义 若函数yf(x)在区间I上是 或，则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数yf(x)的单调区间 2函数的最值 一般地，设yf(x)的定义域为A.如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有，那么称f(x0)为yf(x)的最大值，记为ymaxf(x0)；如果存在x0A，使得对于任意的xA，都有 ，那么称f(x0)为yf(x)的最小值，记为yminf(x0,增函数,减函数,f(x)f(x0,f(x)f(x0,感悟提升 1一个区别“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5) 2两个防范一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)； 二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6,规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之 (2)复合函数yf g(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yf g(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yf g(x)必为减函数,规律方法 求函数最值的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值,1)证明设x1x2， 则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2) f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2) 又当x0时，f(x)0， 而x1x20，f(x1x2)0， 即f(x1)f(x2)， f(x)在R上为减函数,2)解f(x)在R上是减函数， f(x)在3,3上也是减函数， f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3) 而f(3)3f(1)2，又函数f(x)对于任意x，yR总有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0，再令yx，得f(x)f(x)， f(3)f(3)2. f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2,1求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质 2复合函数的单调性：对于复合函数yf g(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yf g(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yf g(x)为减函数简称：同增异减 3函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用,防范措施对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法