第2讲平面向量基本定理及坐标表示,1平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数1，2，使 a . 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组,基底,不共线,有且只有,知 识 梳 理,1e12e2,3平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab,x1y2x2y1 0,1对平面向量基本定理的理解 (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底() (2)若a，b不共线，且1a1b2a2b， 则12，12.(,辨 析 感 悟,3)(2013广东卷改编)已知a是已知的平面向量且a0.关于向量a的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误： 给定向量b，总存在向量c，使abc.() 给定向量b和b，总存在实数和，使abc；() 给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使 abc；() 给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c， 使abc.(,2两个防范一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)二是注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2x2y10，如(5,考点一平面向量基本定理的应用,规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决,考点二平面向量的坐标运算,规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用,考点三平面向量共线的坐标表示,规律方法 ab的充要条件有两种表达方式： (1)ab(b0)ab(R)； (2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10. 两种充要条件的表达形式不同第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b0，而第(2)种无b0限制,训练3】 (1)(2013陕西卷改编)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于_ (2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_,1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解 2向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题 3在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用,思想方法4方程思想在平面向量线性运算中的应用,反思感悟 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去 (2)利用向量共线建立方程组，用方程的思想求解 (3)本题难点是找不到问题的切入口，并且解题过程复杂，有一定的难度