2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 设常数，则.【分析】将所求极限转换为，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。【详解】法一：法二： 交换积分次序：.【分析】写出对应的二重积分积分域的不等式，画出的草图后，便可写出先对后对的二次积分【详解】对应的积分区域，其中 画出的草图如右图所示，则也可表示为 故 设三阶矩阵，三维列向量。已知与线性相关，则。【分析】由与线性相关知，存在常数使得，及对应坐标成比例，由此求出【详解】由于由与线性相关可得：，从而。 设随机变量和的联合概率分布为 Y概率X00.070.180.1510.080.320.20则和的协方差。【分析】本题主要考查利用随机变量和的联合概率分布求简单函数的概率分布、利用数学期望的定义求随机变量的数学期望、协方差的计算等。 【详解】法一：由题设可得， ， ， 从而 ， ，故 法二：由题设可得， ，从而， 故 评注：的定义，通常按公式计算；的定义，但通常按公式计算 设总体的概率密度为 而是来自总体的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为 【分析】根据矩估计的定义计算即可. 【详解】由于 根据矩估计量的定义,满足的即为的矩估计量,因此二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) 设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，则（A）当时，存在，使（B）对任何，有（）当时，使（）存在，使【分析】本题主要考查零点定理、微分中值定理的理解及函数连续的概念。【详解】由于函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，只能说明在开区间内连续且可导，不能保证函数在闭区间上连续，从而零点定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件不满足，从而不一定必有相应结论，所以（A）、（C）、（D）三选项都错； 由于可导必定连续，从而在开区间内连续，所以对任何，有，从而应选（）设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为（）（）（）（）【分析】本题借用加强法来完成，即假设与都存在。【详解】假定所给幂级数的收敛半径可以按公式计算，则由题设知：，从而所以应选（A）。评注：已知幂级数的收敛半径为，未必有；当幂级数的收敛半径为，且存在时，才有。设是矩阵，是矩阵，则线性方程组（）当时仅有零解 （）当时必有非零解（）当时仅有零解 （D）当时必有非零解【分析】根据齐次线性方程组有非零解的充要条件判定。【详解】齐次线性方程组有非零解的充要条件是。而当时 所以当时线性方程组必有非零解。故应选（D)。评注：涉及齐次线性方程组解的判定问题，均可转化为系数矩阵秩的分析。 设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵。已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是（A） （B） （C） （D）【分析】本题主要考查特征值与特征向量的关系以及矩阵的基本性质。利用特征值的定义检验。【详解】由已知，于是， 又由，可得，可见矩阵属于特征值的特征向量是。故应选（B) 设随机变量和都服从标准正态分布，则（A）服从正态分布 （B）服从分布（C）和都服从分布 （D）服从分布【分析】主要考查正态分布的性质及分布、分布的定义。利用服从标准正态分布的随机变量的性质及服从分布、分布的随机变量的表达式对选项逐一检验，直到得到正确的选项。【详解】由于和不一定相互独立，故（A）、（B）、（D）不一定成立。由于随机变量和都服从标准正态分布，所以和都服从分布。故应选（C）。三、（本题满分5分） 求极限【分析】考查未定式极限及变上限函数求导数。对分母使用等价无穷小代换，然后利用洛必达法则。【详解】法一： 法二： 四、（本题满分7分） 设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求【分析】本题综合考查了多元函数微分法与隐函数微分法。【详解】将已知条件给出的所有关系式求微分得 从而 评注：对多元函数求微分应充分利用微分形式的不变性，使计算简化。五、（本题满分6分）设，求【分析】先求出的表达式，再计算不等积分。【详解】法一：令，则，从而于是 法二;令，则 、 评注：被积函数中含有反三角函数或对数函数，一般应考虑使用分部积分法。六、（本题满分7分） 设是由抛物线和直线及所围成的平面区域；是由抛物线和直线所围成的平面区域，其中 （）试求绕轴旋转而成旋转体的体积；绕轴旋转而成旋转体的体积；（）当为何值时，取得最大值？试求此最大值。【分析】这类求旋转体体积应用题正确做出草图，明确平面域对于问题的分析求解非常重要，然后利用公式求出；第二问利用导数便可解决。【详解】 做出草图 如右图所示 （）由旋转体体积公式可得（）由（）知：，（）则，从而在内有唯一驻点，且。因此当时，取得最大值，此时最大值为。七、（本题满分7分）（）验证函数满足微分方程 （）利用（）的结果求幂级数的和函数【分析】考查幂级数的运算、的麦克劳林级数及求解二阶常系数非齐次微分方程。【详解】（） 由于，所以， 从而（）特征方程为，特征根为。从而对应的齐次方程的通解为：设是原方程的通解，代入原方程得：，于是所以非齐次方程通解为。 又因为和函数满足，代入上式得，。故所求幂级数的和函数为（）。八、（本题满分6分）设函数在上连续，且。利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点，使 【分析】本题主要考查闭区间上连续函数的介值定理、最大最小值定理及定积分的保号性定理本题只要证明介于在上的最大、最小值之间即可。【详解】由于在上连续，所以在该区间上存在最大、最小值，不妨分别记为从而对任意的，恒有又因为，因此根据积分的保号性可得，所以有 根据闭区间上连续函数的介值定理可得，存在一点，使得 从而命题成立 九、（本题满分8分） 设齐次线性方程组其中，。试讨论为何值时，方程仅有零解、无穷多组解？在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。【分析】设是系数矩阵，则是阶方阵，从而，即时方程组只有零解；当，即时方程组有无穷多组解，利用初等行变换求出通解。【详解】设是方程组的系数矩阵，则 当且时，方程组有唯一解零解； 当时，方程组有无穷多组解，此时对进行初等行变换,有 从而原方程组的同解方程组为 其基础解系为，方程组的全部解为 （为任意常数） 当时，方程组有无穷多组解，此时对进行初等行变换,有从而原方程组的同解方程组为 其基础解系为 方程组的全部解为 （其中为任意常数）十、（本题满分8分）设为三阶实对称矩阵，且满足条件，已知的秩（）求的全部特征值；（）当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中为三阶单位矩阵。【分析】本题考查特征值与特征向量的性质及正定矩阵与特征值之间关系。（）的特征值必须满足，利用特设条件可求得的值，但所求的是否是全部特征值呢？是几重特征根？这须利用条件的秩来解决；（）利用（）的结果写出的全部特征值，当其全部特征值都大于零时，矩阵为正定矩阵。【详解】（）设是矩阵的一个特征值，对应的特征向量为，则 ， 于是，由条件可得，解得 ，因为实对称矩阵必可对角化，且，从而从而矩阵的全部特征值为：； （）由（）知矩阵的全部特征值为：，从而矩阵的全部特征值为。 于是当时，矩阵为正定矩阵。十一、（本题满分8分） 假设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量 ， 试求：（） 和的联合分布；（）【分析】首先通过所给的和的取值，判断出的几种可能取值，以及取这些可能值的条件，计算的各组值的概率，确定和的联合分布；（）利用方差公式算出或通过和的联合分布，写出和的概率分布，从而利用公式算出。【详解】（）随机变量的可能取值为、，而于是和的联合分布 （）法一：由于而 所以 法二：由（I）可知和的概率分布为：， 可见，从而。十二、（本题满分8分）假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布，平均无故障工作的时间为小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数。【分析】服从指数分布，而指数分布由参数确定，且，有已知条件可以确定的值。根据题意【详解】设服从参数为的指数分布，由于，可见参数。 因此，其概率密度为 根据题意，所以 当时，； 当时，； 当时，； 于是的分布函数为：。