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北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 同步练习题一、选择题1下列条件中,能判断四边形是菱形的是(D)A对角线互相垂直且相等的四边形B对角线互相垂直的四边形C对角线相等的平行四边形D对角线互相垂直且平分的四边形2在平面直角坐标系内,点O是原点,点A的坐标是(3,4),点B的坐标是(3,4),要使四边形AOBC是菱形,则满足条件的点C的坐标是(C)A(3,0) B(3,0)C(6,0) D(5,0)3如图,在菱形ABCD中,A130,连接BD,则DBC(A)A25 B35 C50 D654如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且AECF,连接EF交BD于点O,连接AO.若DBC25,则OAD的度数为(C)A50 B55 C65 D755.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为8和6,则这个菱形的周长是(A)A20 B24 C40 D486如图,等边ABC沿射线BC向右平移到DCE的位置,连接AD,BD,则下列结论:ADBC;BD,AC互相平分;四边形ACED是菱形;ACDDCE,其中正确的个数是(D)A1 B2 C3 D47.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC4,BD16,将ABO沿点A到点C的方向平移,得到ABO.当点A与点C重合时,点A与点B之间的距离为(C)A6 B8 C10 D12二、填空题8.如图,菱形ABCD的周长是12,ABC120,那么这个菱形的对角线BD的长是39.如图,在菱形ABCD中,A60,AD8.P是AB边上的一点,E,F分别是DP,BP的中点,则线段EF的长为410.如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(3,5),则点C的坐标为(3,5)11如图,菱形ABCD的周长为16,C120,E,F分别为AB,AD的中点,则EF的长为212.如图,在ABC中,已知ACB90,A30,BC6,D为斜边AB上一点,以CD,CB为边作平行四边形CDEB,当AD6时,平行四边形CDEB为菱形13如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,有以下四个式子:ABBC;ACBD;ACBD;ABC90,从中任取一个作为条件,即可推出ABCD是菱形的概率为14.若菱形的两条对角线的比为34,且周长为20 cm,则它的面积为24cm2.15.如图,线段AB10,分别以点A,B为圆心,6为半径作弧,两弧分别交于点C,D,连接CD,则CD的长为216.如图,在等边ABC中,BC8 cm,射线AGBC,点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动,同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动,设运动时间为t(s)(1)当t或8s时,以A,F,C,E为顶点的四边形是平行四边形;17.如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,OC2 cm,ABO30,则菱形 ABCD的面积是8_cm218.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC8,BD6,OEAD于点E,交BC于点F,则EF的长为三、解答题19.如图,BD是ABC的角平分线,过点D作DEBC交AB于点E,DFAB交BC于点F.(1)求证:四边形BEDF为菱形;(2)若A90,C30,BD6,则菱形BEDF的面积为6证明:DEBC,DFAB,四边形BEDF是平行四边形DEBC,EDBDBF.BD平分ABC,ABDDBF.ABDEDB.DEBE.四边形BEDF为菱形20如图,在ABC中,点D是AB边上一点,ACAD,连接CD.点O是CD的中点,连接AO并延长交BC于点E,连接ED.过点D作DFBC交AE于点F,连接CF.求证:四边形CEDF是菱形证明:ACAD,点O是CD的中点,AOCD.DFBC,FDOECO.在FDO和ECO中,FDOECO(ASA)FOOE.又EFCD,OCOD,21.如图,在ABC中,ACBC,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,连接DE,DF.求证:四边形DFCE是菱形证明:点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,DECF,DEBC,DFCE,DFAC.四边形DECF是平行四边形ACBC,DEDF.22.如图,在四边形ABCD中,ADBC,E是BC的中点,DFBC,垂足为F,AD5,BC12,DF4,C45,点P是BC边上一动点,设PB的长为x.(1)当x的值为1或11时,以点P,A,D,E为顶点的四边形是平行四边形;(2)点P在BC边上运动的过程中,以P,A,D,E为顶点的四边形能否构成菱形?试说明理由解:能,理由如下:当x11时,四边形AEPD是平行四边形,此时P在E的右边,在RtCFD中,C45,CFDF4.又CPBCBP12111,PFCFCP413,在RtPFD中,PD5,PDAD5.四边形AEPD是菱形23.如图,在ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于点E,F,连接BE,DF.求证:四边形BFDE是菱形证明:在ABCD中,O为对角线BD的中点,BODO,ADBC.EDOFBO.在DOE和BOF中,DOEBOF(ASA)OEOF.又EFBD,BODO,四边形BFDE为菱形24.如图,AEBF,AC平分BAD,交BF于点C,BD平分ABC,交AE于点D,连接CD,求证:四边形ABCD是菱形证明:AEBF,BCACAD,CBDBDA.AC平分BAD,BACCADBCA.ABBC.BD平分ABC,ABDCBDBDA.ABAD.ADBC.又BCAD,四边形ABCD是菱形四边形DFCE是菱形25.如图,在菱形ABCD中,B60,点E在边BC上,点F在边CD上(1)如图1,若E是BC的中点,AEF60,求证:BEDF;(2)如图2,若EAF60,求证:AEF是等边三角形证明:(1)连接AC.在菱形ABCD中,B60,ABBCCD,BCD180B120,ABC是等边三角形E是BC的中点,AEBC.AEF60,FEC90AEF30.CFE180FECECF1803012030.FECCFE.ECCF.BEDF.(2)连接AC.ABC是等边三角形,ABAC,ACBBAC60.BACF60.BACEAF60,BAECAF.在ABE和ACF中,ABEACF(ASA)AEAF.EAF60,AEF是等边三角形26.如图,在RtABC中,B90,AC2AB,AD平分BAC交BC于D,过点A作AFBC,连接DF交AC于E.若E是DF的中点,请你判断四边形ADCF的形状,并证明解:四边形ADCF是菱形证明:AFCD,AFECDE.E是DF的中点,EFED.在AFE和CDE中,AFECDE(ASA)AECE.四边形ADCF是平行四边形AC2AE,AC2AB,ABAE.AD平分BAC,BADEAD.在AED和ABD中,AEDABD(SAS)AEDB90,即DFAC.四边形ADCF是菱形27.如图,在菱形ABCD中,A60,H是对角线BD上任意一点(1)如图1,当H是线段BD的中点,且AB6时,求DBC的面积;(2)如图2,当点H不是线段BD的中点时,I是线段CB延长线上一点,且DHBI,连接CH,HI.求证:CHHI.解:(1)四边形ABCD是菱形,BCDA60,BCDCAB6.BCD是等边三角形BDBC6.H是线段BD的中点,BHBD3,CHBD.CH3.SDBCBDCH9.(2)证明:过点H作GHBC,交CD于点G.BCD是等边三角形,DHGDBC60,DGHDCB60,CDBD.DGH是等边三角形DHDGGH.CGHB,CGHHBI.DHBI,GHBI.在CGH和HBI中CGHHBI(SAS)CHHI.28.如图,在ABCD中,AEBC,AFCD,垂足分别为E,F,且BEDF.(1)求证:ABCD是菱形;(2)若AB5,AC6,求ABCD的面积解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCADC.AEBC,AFCD,AEBAFD90.又BEDF,AEBAFD(ASA)ABAD.ABCD是菱形(2)连接BD交AC于点O.四边形ABCD是菱形,AC6,ACBD,AOCOAC63.BO4.BD2BO8.SABCDACBD24.29.如图1,在ABCD中,E,F分别为CD,BC上两点,AF平分BAE,EADFEC.(1)求证:ABAE;(2)如图2,若B90,AF与DC的延长线交于点H,求证:四边形ABHE为菱形;(3)在(2)的条件下,若DH16,AD8,则AF的长为5证明:(1)AECAEFFECEADD,EADFEC,AEFD.四边形ABCD是平行四边形,BD.BAEF.AF平分BAE,BAFEAF.在ABF和AEF中,ABFAEF(AAS)ABAE.(2)四边形ABCD是平行四边形,ABCD.BAFEHA.BAFEAF,EHAEAF.AEHE.ABAE,ABEH.又ABEH,四边形ABHE为菱形30.如图,在ABCD中,CE平分BCD,交AB边于点E,EFBC,交CD于点F,点G是BC边的中点,连接GF,且12,CE与GF交于点M,过点M作MHCD于点H.(1)求证:四边形BCFE是菱形;(2)若CH1,求BC的长;(3)求证:EMFGMH.解:(1)证明:四边形ABCD是平
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