2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷)数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。参考公式：锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集U=R，则正确表示集合M=1，0，1和N=关系的韦恩（Venn）图是2下列n的取值中，使in =1(i是虚数单位)的是An=2 Bn=3 Cn=4 Dn=53已知平面向量a =(x，1)，b =(x，x2 )，则向量a+b A平行于x轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于y轴 D平行于第二、四象限的角平分线4若函数是函数的反函数，且，则 A B C D5已知等比数列的公比为正数，且，则A B C D6给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 7已知中，的对边分别为。若，且 ，则 A2 B C D8函数的单调递增区间是A B（0，3） C（1，4） D9函数是A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数10广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A20.6 B21 C22 D23二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，(一)必做题(1113题)11某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： 图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的= 。(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”)12某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200编号，并按编号顺序平均分为40组(15号，610号，196200号)。若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。 13以点（2，1）为圆心且与直线相切的圆的方程是_。（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线垂直，则常数=_。 15(几何证明选讲选做题)如图3，点A，B，C是圆上的点，且，则圆的面积等于_。 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16（本小题满分12分） 已知向量与互相垂直，其中.（1） 求和的值；（2） 若，求的值。17（本小题满分13分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线平面. 18（本小题满分13分） 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7。 （1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率。 19（本小题满分14分） 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆G上一点到和的距离之和为12。圆：的圆心为点。 （1）求椭圆G的方程； （2）求面积；（3）问是否存在圆包围椭圆G？请说明理由。 20（本小题满分14分）已知点是函数的图像上一点。等比数列的前n项和为。数列的首项为c，且前n项和满足（1）求数列和的通项公式； （2）若数列的前项和为，问满足的最小正整数是多少？21（本小题满分14分） 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值。设函数。 （1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值； （2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点。2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科） 参考答案一、 选择题1-10 BCCAB DADAB1、【解析】由N= x |x+x=0得,选B.2、【解析】因为,故选C. 3、【解析】,由及向量的性质可知,C正确.4、【解析】函数的反函数是,又,即,所以,故,选A.5、【解析】设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B6、【解析】错, 正确, 错, 正确.故选D7、【解析】由a=c=可知,所以,由正弦定理得,故选A8、【解析】,令,解得,故选D9、【解析】因为为奇函数,所以选A.10、【解析】由题意知,所有可能路线有6种:, 其中, 路线的距离最短, 最短路线距离等于,故选B.二、 填空题11、【答案】,【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填，输出的s=.12、【答案】37, 20【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37. 40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.13、【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为 14、【答案】【解析】将化为普通方程为,斜率,当时,直线的斜率,由得;当时,直线与直线不垂直.综上可知,.15、【答案】【解析】连结AO,OB,因为 ,所以,为等边三角形,故圆O的半径,圆O的面积. 三、 解答题16、【解析】（）,即又, ,即,又,(2) , ,即 又 , 17、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（）该安全标识墩的体积为：（）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG； 18、【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班; (2) 甲班的样本方差为 57 （3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A； 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件； ；19、【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. (2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.20、【解析】（1）, , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；（2） ； 由得，满足的最小正整数为112.21、【解析】（1）设，则； 又的图像与直线平行 又在取极小值， ， ， ； ， 设 则 ； （2）由， 得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解，若， 函数有两个零点；若， ，函数有两个零点； 当时，方程有一解, , 函数有一零点