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20092010学年度高三数学(人教版A版)第一轮复习资料第4讲 基本初等函数一【课标要求】1指数函数(1)通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景;(2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。(3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点;(4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型2对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用;(2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点;3知道指数函数与对数函数互为反函数(a0,a1)。4.幂函数(1)了解幂函数的概念(2)结合函数y=x, ,y=, y=,y=,y=的图象,了解它们的变化情况二【命题走向】指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数,在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看,对指数函数、对数函数、幂函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算推理,能运用它们的性质解决具体问题。为此,我们要熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。预测2010年对本节的考察是:1题型有两个选择题和一个解答题;2题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题,则难度会加大三【要点精讲】1指数与对数运算(1)根式的概念:定义:若一个数的次方等于,则这个数称的次方根。即若,则称的次方根,1)当为奇数时,次方根记作;2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记作性质:1);2)当为奇数时,;3)当为偶数时,。(2)幂的有关概念规定:1)N*;2); n个3)Q,4)、N* 且性质:1)、Q);2)、 Q);3) Q)。(注)上述性质对r、R均适用。(3)对数的概念定义:如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作其中称对数的底,N称真数1)以10为底的对数称常用对数,记作;2)以无理数为底的对数称自然对数,记作;基本性质:1)真数N为正数(负数和零无对数);2);3);4)对数恒等式:。运算性质:如果则1);2);3)R)换底公式:1);2)。2指数函数与对数函数(1)指数函数:定义:函数称指数函数,1)函数的定义域为R;2)函数的值域为;3)当时函数为减函数,当时函数为增函数。函数图像:1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限;2)指数函数都以轴为渐近线(当时,图象向左无限接近轴,当时,图象向右无限接近轴);3)对于相同的,函数的图象关于轴对称,函数值的变化特征:(2)对数函数:定义:函数称对数函数,1)函数的定义域为;2)函数的值域为R;3)当时函数为减函数,当时函数为增函数;4)对数函数与指数函数互为反函数函数图像:1)对数函数的图象都经过点(1,0),且图象都在第一、四象限;2)对数函数都以轴为渐近线(当时,图象向上无限接近轴;当时,图象向下无限接近轴);4)对于相同的,函数的图象关于轴对称。函数值的变化特征:,.,. (3)幂函数1)掌握5个幂函数的图像特点2)a0时,幂函数在第一象限内恒为增函数,a0时过(0,0)4)幂函数一定不经过第四象限四【典例解析】题型1:指数运算例1(1)计算:;(2)化简:。解:(1)原式=;(2)原式=。点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。例2(1)已知,求的值解:,又,。点评:本题直接代入条件求解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算。题型2:对数运算(2).(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数的图象经过点,则满足27的x的值是 .答案 例3计算(1);(2);(3)解:(1)原式 ;(2)原式 ;(3)分子=;分母=;原式=。点评:这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧例4设、为正数,且满足 (1)求证:;(2)若,求、的值。证明:(1)左边;解:(2)由得,由得 由得由得,代入得, 由、解得,从而。点评:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3:指数、对数方程例5(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围. 解 (1) 因为是R上的奇函数,所以从而有 又由,解得(2)解法一:由(1)知由上式易知在R上为减函数,又因是奇函数,从而不等式等价于 因是R上的减函数,由上式推得即对一切从而解法二:由(1)知又由题设条件得即 整理得,因底数21,故 上式对一切均成立,从而判别式例6(2008广东 理7)设,若函数,有大于零的极值点,则( B )ABCD【解析】,若函数在上有大于零的极值点,即有正根。当有成立时,显然有,此时,由我们马上就能得到参数的范围为.点评:上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式,再来求解。题型4:指数函数的概念与性质例7设( )A0 B1 C2 D3解:C;,。点评:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值例8已知试求函数f(x)的单调区间。解:令,则x=,tR。所以即,(xR)。因为f(x)=f(x),所以f(x)为偶函数,故只需讨论f(x)在0,+)上的单调性。任取,且使,则(1)当a1时,由,有,所以,即f(x)在0,+上单调递增。(2)当0a1时,由,有,所以,即f(x)在0,+上单调递增。综合所述,0,+是f(x)的单调增区间,(,0)是f(x)的单调减区间。点评:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分两种情况来处理。题型5:指数函数的图像与应用例9若函数的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是( )Am1 B1m0 Cm1 D0m1解:,画图象可知1m1时,函数y=logax和y=(1a)x的图象只可能是( )解:当a1时,函数y=logax的图象只能在A和C中选,又a1时,y=(1a)x为减函数。答案:B点评:要正确识别函数图像,一是熟悉各种基本函数的图像,二是把握图像的性质,根据图像的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例14设A、B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线
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