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常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数 1正比例函数 如果y=kx(k 是常数,K0),那么,y 叫做x 的正比例函数 一次函数的图象是直线,画一次函数的图象,只要先描出两点,再连成直线 一次函数的性质 当 k0 时 y 随 x 的增大而增大,当 k0 时,图象的两个分支分别在一、三象限内,在每个象限内, y 随x 的增大而减小; 当K0 时,图象的两个分支分别在二、四象限内,在每个象限内,y 随x 的增大而增大。 3对勾函数 f (x) ax b 的图象与性质 x 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现,但考试总喜欢考的函数,所 以也要注意它和了解它。 ( 1) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数,形如 f(x)=ax+ (接下来写作 f(x)=ax+b/x)。 当 a0,b0 时,f(x)=ax+b/x 是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点, 对于理解它的性质,绘制它的图象,非常重要。 当 a,b 同号时,f(x)=ax+b/x 的图象是由直线yax 与双曲线 y= b/x 构成,形状酷似双勾。故称“对勾函数”, 也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示,a0 b0a0b0 对勾函数的图像(ab 同号) 当 a,b 异号时,f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是,我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。 (请自己在图上完成:他是如何叠加而成的。,1,当 x0 时,当 x0 时,即对勾函数的定点坐标,3)对勾函数的定义域、值域 由(二)得到了对勾函数的顶点坐标,从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质,4)对勾函数的单调性,5)对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到,6)对勾函数的奇偶性 对勾函数在定义域内是奇函数,对勾函数的图像(ab 异号) 一般地,我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸,即对勾函数也是双曲线的一种,只不过它的 焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来,为了研究方便,我们规定 a0,b0。之后当 a0,b0 时,根据对称就很容易得出结论了。 (2) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。 利用均值不等式可以得到,y,2,X,O,y=ax,3
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