文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com- 1 -湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷（理科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分）1 （5 分）函数 f（x）= sin（x+） （xR，0，| ）的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是（）A 2， B 2， C 4， D 4，2 （5 分）在等比数列a n中，若 a4，a 8是方程 x23x+2=0 的两根，则 a6的值是（）A B C D 23 （5 分）从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）A 2097 B 2112 C 2012 D 20904 （5 分） “2a2 b”是“lgalgb”的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件5 （5 分）过双曲线 （a0，b0）的右焦点 F 作圆 x2+y2=a2的切线 FM（切点为M） ，交 y 轴于点 P若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率是（）A B C 2 D6 （5 分）如图是函数 f（x）=x 2+ax+b 的部分图象，则函数 g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（）文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com- 2 -A （ ） B （1，2） C （ ，1） D （2，3）7 （5 分）多面体 MNABCD 的底面 ABCD 为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则 AM 的长（）A B C D8 （5 分）如图，在透明塑料制成的长方体 ABCDA 1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形 EFGH 的面积不改变；棱 A1D1始终与水面 EFGH 平行；当 EAA 1时，AE+BF 是定值其中正确说法是（）A B C D 9 （5 分）抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，M 是抛物线 C 上的点，若OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积为 36，则 p=（）A 2 B 4 C 6 D 810 （5 分）若存在正数 x 使 2x（xa）1 成立，则 a 的取值范围是（）A （，+） B （2，+） C （0，+） D （1，+）二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分）文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com- 3 -11 （5 分）已知复数 z1=m+2i，z 2=34i，若 为实数，则实数 m 的值为12 （5 分）将长、宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到四面体 ABCD，则四面体 ABCD 的外接球的体积为13 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 ，则 x2+4y2的最小值是14 （5 分）已知数列a n的首项 a1=2，其前 n 项和为 Sn若 Sn+1=2Sn+1，则 an=15 （5 分）过 x 轴正半轴上一点 P 的直线与抛物线 y2=4x 交于两点 A、B，O 是原点，A、B 的横坐标分别为 3 和 ，则下列：点 P 是抛物线 y2=4x 的焦点； =2；过 A、B、O 三点的圆的半径为 ；若三角形 OAB 的面积为 S，则 S ；若 = ，则 =3在这五个命题中，正确的是三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）16 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosC=3acosBccosB（）求 cosB 的值；（）若 ，且 ，求 a 和 c 的值17 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面 PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= （1）求证：平面 PQB平面 PAD；（2）若二面角 MBQC 为 30，设 PM=tMC，试确定 t 的值文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com- 4 -18 （12 分）某市近郊有一块大约 500m500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为 3000 平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为 2 米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同） ，塑胶运动场地占地面积为 S 平方米（1）分别用 x 表示 y 和 S 的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使 S 取得最大值，并求出最大值19 （13 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且 S4=4S2，a 2n=2an+1（）求数列a n的通项公式；（）设数列b n满足 =1 ，nN *，求b n的前 n 项和 Tn20 （13 分）已知圆 N：（x+2） 2+y2=8 和抛物线 C：y 2=2x，圆 N 的切线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A，B（）当直线 Z 酌斜率为 1 时，求线段 AB 的长；（）设点 M 和点 N 关于直线 y=x 对称，问是否存在直线 l，使得 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com- 5 -21 （13 分）设函数 f（x）=1e x ，函数 g（x）= （其中 aR，e 是自然对数的底数）（1）当 a=0 时，求函数 h（x）=f（x）g（x）的极值；（2）若 f（x）g（x）在T=，即 =，解得：=2由五点作图的第二点可知，2 += ，即 = ，满足| ， 的值分别是 2， 故选：A点评： 本题考查由 y=Asin（x+）的部分图象求解函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点列式求解 的值，是基础题2 （5 分）在等比数列a n中，若 a4，a 8是方程 x23x+2=0 的两根，则 a6的值是（）A B C D 2考点： 等比数列的通项公式；函数的零点 专题： 等差数列与等比数列分析： 利用根与系数的关系可得 a4a8，再利用等比数列的性质即可得出解答： 解：a 4，a 8是方程 x23x+2=0 的两根，a 4a8=2，a 4+a8=30a 40，a 80由等比数列a n， ， 由等比数列的性质可得：a 4，a 6，a 8同号 点评： 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题3 （5 分）从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com- 6 -A 2097 B 2112 C 2012 D 2090考点： 进行简单的合情推理 专题： 计算题；压轴题分析： 设最上层的一个数为 a，则第二层的三个数为 a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，根据题意求和验证解答： 解：根据如图所示的规则排列，设最上层的一个数为 a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为 a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这 9 个数之和为 a+3a+24+5a+80=9a+104由 9a+104=2012，得 a=212，是自然数故选 C点评： 本题考查简单的合情推理，得出 9 个数的关系是关键4 （5 分） “2a2 b”是“lgalgb”的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 简易逻辑分析： 由 2a2 b是否得出 lgalgb？判定充分性；由 lgalgb 是否推出 2a2 b？判定必要性是否成立解答： 解：2 a2 b等价于 ab，当 0ab 或 a0b 时，lgalgb 不成立；充分性不成立；又lgalgb 等价于 ab0，能得出 2a2 b；必要性成立；“2 a2 b”是“lgalgb”的必要不充分条件故选：B点评： 本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时需要判定充分性是否成立，必要性是否成立，是基础题5 （5 分）过双曲线 （a0，b0）的右焦点 F 作圆 x2+y2=a2的切线 FM（切点为M） ，交 y 轴于点 P若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率是（）A B C 2 D考点： 双曲线的简单性质 专题： 计算题；压轴题分析： 根据 OMPF，且 FM=PM 判断出POF 为等腰直角三角形，推断出OFP=45，进而在 RtOFM 中求得半径 a 和 OF 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则双曲线的离心率可得解答： 解：OMPF，且 FM=PMOP=OF，OFP=45文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com- 7 -|0M|=|OF|sin45，即 a=ce= =故选 A点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质解题的关键是利用圆的切线的性质和数形结合的数学思想的运用6 （5 分）如图是函数 f（x）=x 2+ax+b 的部分图象，则函数 g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（）A （ ） B （1，2） C （ ，1） D （2，3）考点： 函数零点的判定定理 专题： 计算题；压轴题分析： 由二次函数图象的对称轴确定 a 的范围，据 g（x）的表达式计算 g（ ）和 g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间解答： 解：由函数 f（x）=x 2+ax+b 的部分图象得 0b1，f（1）=0，从而2a1，而 g（x）=lnx+2x+a 在定义域内单调递增，g（ ）=ln +1+a0，由函数 f（x）=x 2+ax+b 的部分图象，结合抛物线的对称轴得到：0 1，解得2a0，g（1）=ln1+2+a=2+a0，函数 g（x）=lnx+f（x）的零点所在的区间是（ ，1） ；故选 C点评： 本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题7 （5 分）多面体 MNABCD 的底面 ABCD 为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则 AM 的长（）文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com- 8 -A B C D考点： 点、线、面间的距离计算；简单空间图形的三视图 专题： 空间位置关系与距离分析： 取 E，F 分别为 AD，BC 的中点，则 MNEF 为等腰梯形，利用正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，求出 ME，AE 的长，即可求 AM 的长解答： 解：如图所示，E，F 分别为 AD，BC 的中点，则 MNEF 为等腰梯形由正（主）视图为等腰梯形，可知 MN=2，AB