数值方法实验报告课程名称：LU 分解法与高斯消元法 学 院：数学与财经学院 专 业：信息与计算科学（金融软件） 年 级：2011 级 姓 名：郑 荐 学 号：201102334023 指导教师：李 梦 实验一【实验名称】实现 LU 算法，并利用该算法求解线性方程组【实验目的】了解如何用 LU 三角分解法解线性方程组，利用 LU 三角分解法解线性方程组【实验原理】设无行交换变换的高斯消去法可求解一般线性方程组 AX=B，则矩阵 A 可分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 乘积：A=LU而且 L 的对角线元素为 1，U 的对角线元素非零。得到 L 和 U 后，可通过如下步骤得到 X：1. 利用向前替换法对方程组 LY=B 求解 Y。2. 利用回带法对方程组 UX=Y 求解 X。【实验步骤】1. 输入矩阵 A2. LU 分解 A，得到 L 矩阵与 U 矩阵的值 L U=LU_1(A)3. 输入矩阵 B，利用向前回带法求出 Y 值 Y=upsub(L,B)4. 利用回带发求出 X 值 X=backsub(U,Y)【实验程序】1. LU 分解代码：function L U=LU_1(A)n=length(A(1,:);L=eye(n);U=zeros(n);for j=1:nU(1,j)=A(1,j);endfor i=2:nL(i,1)=A(i,1)/U(1,1);endfor k=2:nfor j=k:nU(k,j)=A(k,j)-L(k,1:k-1)*U(1:k-1,j);endfor i=k+1:nL(i,k)=(A(i,k)-L(i,1:k-1)*U(1:k-1,k)/U(k,k);endend结果：2. 向前回带法代码：%向前代入法function Y=upsub(A,B)n=length(B);Y=zeros(n,1);Y(1)=B(1)/A(1,1);for k=2:nY(k)=(B(k)-A(k,1:k-1)*Y(1:k-1)/A(k,k);end结果：3. 回带法代码：%回代法function X=backsub(A,B)n=length(B);X=zeros(n,1); X(n)=B(n)/A(n,n);for k=n-1:(-1):1X(k)=(B(k)-A(k,k+1:n)*X(k+1:n)/A(k,k);end结果：【实验分析】LU 分解法比较简便迅速，当解多个系数矩阵为 A 的线性方程做时，LU 分解法就显得特别优越，只要对系数矩阵做一次 LU 分解，以后只要解三角形方程即可。也可以根据系数矩阵的形状来设计算法。实验二【实验名称】高斯消元法解线性方程组【实验目的】了解如何用高斯消元法解线性方程组，利用高斯消元法解线性方程组【实验原理】消元过程：设 ，令乘数 ，做（消去第 i 个方程组的 ）操作 第 10)(1a)0(11/amiiixim个方程+第 i 个方程（i=2，3，.n）则第 i 个方程变为 1)(2)1(.inii bx这样消去第 2，3， 。 。 。 ，n 个方程的变元 后。原线性方程组变为：i)1()1(2)1( )1(2)1(2)1(000. . .nnnbxaxba这样就完成了第 1 步消元。回代过程：在最后的一方程中解出 ，得：nx)1()(/nnab再将 的值代入倒数第二个方程，解出 ，依次往上反推，即可求出方程组的解：nx 1x其通项为 3,.1-n2k /)()(1() knkjjjkab【实验步骤】1、输入 A 和 b2、判断是否有解B=A bif RA0disp(RARB,此方程无解);return;endif RA=RBif RA=ndisp(RA=RB=n,次方程组有唯一解);X=zeros(n,1);for p=1:n-1for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendX=backsub(B(1:n,1:n),B(1:n,n+1);Xelsedisp(RA=RBn,次方程组有无穷解。)endend结果：【实验分析】高斯消元法代码更为复杂。LU 分解的方法，求解方程组的方法使得得出的结果更加精确。高斯消元法能更快判断出是由有解。LU 分解法在 LU 分解前矩阵 A 不知道能否可以分解。【实验心得】本次试验涉及到了用高斯消元法，LU 分解法两种方法。需要对这些方法的原理都要掌握才能写出程序，由于理论知识的欠缺，我花了很大一部分时间在看懂实验的原理上，看懂了实验原理之后就开始根据原理编写程序，程序中还是出现了很多的低级错误导致调试很久才能运行。通过这次试验使我深刻的体会到理论知识的重要性，没有理论知识的支撑是写不出程序来的。写程序时还会犯很多低级的错误，以后一定要加强理论知识的学习，减少编程时低级错误的产生。