2015年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1已知集合,，则= .2如果与互为共轭复数（R，为虚数单位），则= 3如右图，该程序运行后输出的结果为 .4在ABC中，C90，M是BC的中点，若sinB，则_.5某单位有三部门，其人数比例为345，现欲用分层抽样方法抽调n名志愿者支援西部大开发 若在部门恰好选出了6名志愿者，那么n_6函数且的部分图像如图所示,则的值为 .7连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数在处取得最值的概率是 .8在等差数列和等比数列中，已知，那么满足的的所有取值构成的集合是 .9已知如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD，BAD.若BFBD2，则多面体的体积 10如果关于x的方程有两个实数解，那么实数a的值是 11设 若是的最小值，则实数的取值范围为 .12已知椭圆的中心、右焦点、右顶点依次为直线与轴交于点，则取得最大值时的值为 .13在四边形ABCD中，则四边形ABCD的面积是 14是定义在上的奇函数，若当时， ，则关于的函数的所有零点之和为 （用表示）二、解答题：本大题共6小题，共90分.15（本小题满分14分）如图，在平面上，点，点在单位圆上，（）第15题图（1）若点，求的值；（2）若，求. MDCBAPN16（本小题满分14分）在四棱锥中,平面,是边长为4的正三角形,与的交点恰好是中点,又,点在线段上,且.(1)求证：；(2)求证：平面.17.（本小题满分14分）2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴元（为常数，），设每枚徽章的售价为元（35）.根据市场调查，日销售量与（为自然对数的底数）成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚.（1）求该商店的日利润与每枚徽章的售价的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润最大？并求出的最大值.18(本小题满分16分) 已知椭圆过点，离心率为 （1）若是椭圆的上顶点，分别是左右焦点，直线分别交椭圆于，直线交于D，求证； （2）若分别是椭圆的左右顶点，动点满足，且交椭圆于点 求证：为定值.19.（本小题满分16分）已知函数，设.（1）若在处取得极值，且，求函数h(x)的单调区间；（2）若时函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.求b的取值范围；求证：.20.（本小题满分16分）若数列满足，存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.第卷（附加题，共40分）21选做题本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 A（选修：几何证明选讲）如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C若AB = 2 BC ，求证：B（选修：矩阵与变换）已知矩阵，其中均为实数，若点在矩阵的变换作用下得到点，求矩阵的特征值.C（选修：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度已知曲线（为参数）和曲线相交于两点，求中点的直角坐标D（选修：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足，求a的取值范围【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22（本小题满分10分）甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜三人均执行胜者的提议若记所需抛掷硬币的次数为X（1）求的概率；（2）求X的分布列和数学期望23（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记=，其中，.（1）若，成等差数列，且，求证：；（2）若，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围.2015年高考模拟试卷(3)参考答案南通市数学学科基地命题第卷（必做题，共160分）一、填空题1； 2 ； 31027； 由流程图，和的值依次为，结束循环.4；524；6；7； 8 ；【解析】 由已知得，令，可得，解得或5，所以满足的的所有取值构成的集合是.9 【解析】如图，连接AC，ACBDO.因为四边形ABCD是菱形，所以，ACBD，又因为ED平面ABCD，AC平面ABCD，所以，EDAC.因为，ED，BD平面BDEF，且EDBDD，所以，AC平面BDEF，所以，AO为四棱锥ABDEF的高又因为，四边形ABCD是菱形，BAD，所以，ABD为等边三角形又因为，BFBD2，所以，AD2，AO，S四边形BDEF4，所以，V四棱锥ABDEF，即多面体的体积为. 10 ； 11； 122；13；【解析】 设，则|a|=|b|=|c|=1，a+b=c，所以，得cos=,又由，所以，可得图形为有一个角的菱形，所以，其面积.14；【解析】 根据对称性，作出R上的函数图象，由，所以，零点就是与交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数的图象与的交点在之间的交点关于对称，所以，在之间的两个交点关于对称，所以，设，则，所以，即，由，所以，即，所以，.二、解答题15. （1）由于，所以， ， 所以， 所以 ；（2）由于, 所以, . 所以，所以， 所以.16（1）因为是正三角形,是中点, MDCBAPN所以,即, 又,平面, 所以平面. 又平面,所以. (2)在正三角形中, 在中，因为为中点, ，所以,因为,所以.所以, ,所以, 所以,所以. 又平面,平面,所 以平面. 17. （1）设日销售量为，则，所以，则日销售量为枚. 每枚徽章的售价为元时，每枚徽章的利润为元，则日利润.（2）. 当时，而，所以在上单调递减，则当时，取得最大值为. 当时，令，得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.所以当时，取得最大值为. 综上，当时，每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润最大,;当时，每枚徽章的售价为（）元时，该商店的日利润最大， . 18. （1）易得且， 解得所以,椭圆的方程为； 所以， 所以，直线，直线 将 代入椭圆方程可得， 所以，同理可得， 所以直线为，联立，得交点， 所以，即所以，； （2）设， 易得直线的方程为， 代入椭圆,得，由得， 从而， 所以. 19. (1)因为，所以,由可得a=b-3. 又因为在处取得极值，所以， 所以a= -2,b=1 . 所以，其定义域为（0，+）令得， 当（0,1）时，当（1,+），所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减. （2）当时，其定义域为（0，+）.由得，记，则,所以在单调减，在单调增，所以当时取得最小值.又，所以时，而时, 所以b的取值范围是（，0）. 由题意得,所以,所以，不妨设x1x2,要证 , 只需要证.即证，设,则,所以,所以函数在（1，+）上单调增，而，所以即,所以 .20. （1）设公比为，则,所以. 因为=. 且即存在常数32, 所以，数列是“和谐数列” .（2）充分性设等比数列的公比，且则.令，则 因为所以是“和谐数列” 必要性等比数列各项为正，且是“和谐数列”.因为 所以，下面用反证法证明，（1）当则因为所以，不存在，使对恒成立;当，则所以，对于给定的正数，若因为，所以，即当时，有.所以，不存在常数，使 所以，综上,数列是“和谐数列”的充要条件为其公比为. 第卷（附加题，共40分）ADCBO21. A. 连结OD，BD，因为AB是圆O的直径，所以由AB = 2 BC，所以，因为DC是圆O的切线，所以于是ADBCDO，所以，所以，. B由条件可知，所以，则 矩阵的特征多项式为 令,得两个特征值分别为 C. 将化为直角坐标方程为 将化为直角坐标方程为 将直线方程代入可得 解之可得，所以，所以，中点坐标为 D. 由柯西不等式，得， 即由条件，得，