中山市高二级 20112012 学年度第二学期期末统一考试数学试卷（文科）本试卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用 2B 铅笔在 答题卡“考生号” 处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、 考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交 .5、不可以使用计算器.参考公式：回 归 直 线 ，其中 .ybxa1122(),nniiiii iixyxybaybx一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1在复平面上，复数 的对应点所在象限是(2i)zA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2法国数学家费马观察到 ， ， ， 都是质125217321574216537数，于是他提出猜想：任何形如 N*）的数都是质数，这就是著名的费马猜想 . (n半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第 5 个费马数不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明5214967241670A归纳推理，结果一定不正确 B归纳推理，结果不一定正确C类比推理，结果一定不正确 C类比推理，结果不一定正确3已知 p： 是方程 的一个根，q： ，则 p 是 q 的x2axbc0cbaA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知函数 ，则其导数nxyeyA B C D1nxnx2nxe1()nxe5下列论断中错误的是Aa、b、m 是实数，则“am 2bm2”是“ab”的充分非必要条件；B命题“若 ab0，则 a2b2”的逆命题是假命题；C向量 a，b 的夹角为锐角的充要条件是 ab0；D命题 p：“xR，x 2- 3 x+20”的否定为p：“xR，x 2- 3x+2k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83能不能有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”9%18 （ 13 分）已知函数 （ 为常数，且 ） ，当 时有极32()1fxmx0m2x大值.（1 ）求 的值；m（2 ）若曲线 有斜率为 的切线，求此切线方程 .()yfx519 （ 13 分）设函数 中， 均为整数，且 均为)0()(2acbxxf cb, )1(,0f奇数求证： 无整数根020 （ 14 分）设椭圆 过点 ，离心率为 .2:1(0)xyCab(,4)35（1 ）求 的方程；（2 ）求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的中点坐标 .(3,0)45C21 （ 14 分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图 1)，河口宽 米，河深 2 米，现要4AB将其截面改造为等腰梯形( 如图 2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土() 建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧 的标准方程；() 试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？中山市高二级 20112012 学年度第二学期期末统一考试数学试卷（文科）答案一、选择题：CBDDC ADCAB二、填空题：11. ； 12. ； 917xy 21321n13. ； 14 . 153 cos4三、解答题：16 证明：假设 和 都不成立，则有 和 同时成立，12xyy2yxy因为 且 ，0所以 且yx21xA B（图 1）A B（图2）两式相加，得 .yx22所以 ，这与已知条件 矛盾.yx因此 和 中至少有一个成立. 12x17解：列联表：男 女 总计爱好 40 20 60不爱好 20 30 50总计 60 50 1102210(430)7.865K有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”9%18解：（1） 22()()30fxmxxm则 （舍去） ，m=2. 6.042（2 ）由（1 ）知， 32()41,fxx依题意知 25,f1.3x或又 68(),(),27ff所以切线方程为 或5(1)yx6815()273yx即 或 510x330.19 证明 ：假设 有整数根 ，则 ； 因为 均)(fn20,()abncZ)1(,0f为奇数，所以 为奇数， 为偶数，即cb同时为奇数 或 为偶数 为奇数， ,ab,ac（1 ）当 为奇数时， 为偶数；n2（2 ）当 为偶数时， 也为偶数，n即 为奇数与 矛盾.c20bc所以假设不成立。 无整数根.()fxA BO xy20解：（1）将 代入 的方程得(0,4)C216,4.b又由 得3,5cea29,5b即 的方程为2169,21.6xy（2 ）过点 且斜率为 的直线方程为(3,0)454(3).5x设直线与 的交点为C12(,)(,)AxyB将直线方程 代入 的方程，得435yC22(3)1.5x即 2380,x解得 12441,.x设线段 的中点坐标为 则AB(,)y 12121236,(),55xyx即中点坐标为 36(,).2521. 解：（1 ）如图：以抛物线的顶点为原点，中垂线为 轴建立直角坐标系ABy则 (2,)(,设抛物线的方程为 ，2(0)xpy将点 代入得 (,)B1所以抛物线弧 AB 方程为 （ ）2xy2x（2 ） 解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于 21(,)Pt0)t不 妨则过 的切线 的斜率为 21(,)Ptlxty所以切线 的方程为： ，即 l2()t2tx令 ，得 ， 令 ，得 ，0ytxyt所以梯形面积 122()()4ttSt当仅当 ，即 时， 成立 2tt此时下底边长为 2()3答：当梯形的下底边长等于 米时，挖出的土最少 解法二：设等腰梯形上底（较短的边）长为 米，则一腰过点 ，可设此腰2a(,0)a所在直线方程为 ， 联立 ，得 ， (),0ykxa21ykx20kxa令 ，得 ，或 （舍） ， 2482k故此腰所在直线方程为 ， ()yax令 ，得 ， 2y1x故等腰梯形的面积： 112()2()42Sa当且仅当 ，即 时，有 12amin4S此时，下底边长 2()()32答：当梯形的下底边长等于 米时，挖出的土最少3