中山市高二级 20122013 学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试用时 120分钟 注意事项：1、答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.第卷（选择题共 40 分）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1在ABC 中， ， ，c=20，则边 a 的长为60A7BA B C D022032062不等式 的解集是(5)xxA B C D,(,)(5,6)(,5)(,)3十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci ，11701250）从兔子繁殖的问题，提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”，该数列可用递推公式 由12,;,3.nnF此可计算出 8FA8 B13 C21 D344函数 的单调递减区间是()lnfxA B C D0,e(,)e1(0,)e1(,)e5等差数列 的前 n 项和 ，若 ， ，则 =na12.nnSa103S2030SA153 B182 C242 D2736关于双曲线 ，下列说法错误的是29164yxA实轴长为 8，虚轴长为 6 B离心率为 54C渐近线方程为 D焦点坐标为3yx(,0)7下列命题为真命题的是A N， x32B R， 000xC “ ”是“ ”的必要条件3x29D函数 为偶函数的充要条件是()faxbc0b8已知函数 ， -2，2表示的曲线过原点，且在 x1 处的切线32x斜率均为-1 ，有以下命题： f（x）的解析式为： ， -2，2 ；3()4f f（x）的极值点有且仅有一个； f（x）的最大值与最小值之和等于零.则下列选项正确的是（ ）.A B C D第卷（非选择题共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在答题卡相应横线上）9一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18，则它的第 2 项为 . 10与椭圆 焦点相同的等轴双曲线的标准方程为 . 2159xy11小明用 TI-Nspire CAS 中文图形计算器作出函数 的图像如右()2)(3,4,8fxx图所示，那么不等式 的解集是 0f.（用区间表示）12 已知 ， ，且 ，则(2,13)a(4,2)bxab. |b13在周长为定值 P 的扇形中，当半径为 时，扇形的面积最大，最大面积为 . 14已知抛物线 上一点 及附近一点 ，则割线2()fx(3,)Pf(3,()Pxf的斜率为 ，当 趋近于 0 时，割线趋近于点(3)PfxkP 处的切线，由此可得到点 P 处切线的一般方程为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）15 （ 13 分）已知函数 .()2)(3fxx（1 ）求导数 ； （ 2）求 的单调区间. f16 （ 13 分）设数列 的前 n 项和为 ，点 均在直线 上. nanS(,)nN12yx（1 ）求数列 的通项公式；（ 2）设 ， 是数列 的前 n 项和，试求 .n123nabTnbnT17 （13 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. （1）若边 BC 上的中线 AD 记为 ，试用余弦定理证明： .am221()ambca（2）若三角形的面积 S= ，求C 的度数.221()4bc18 （ 13 分）某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多 56 吨，供电至多 450 千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少?19 （ 14 分）如图，在长方体 中， ，点 E、 F 分别是面 、面1AC12,BA1AC的中心以 D 为坐标原点， DA、DC、DD 1 所为直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，1BC试用向量方法解决下列问题：（1 ）求异面直线 和 所成的角；FE（2 ）求直线 和平面 所成角的正弦值AB用煤（吨） 用电（千瓦） 产值（万元）甲产品 7 20 8乙产品 3 50 12AA1BCDB1C1D1 EF20. （14 分）已知椭圆的一个顶点为 ，焦点在 轴上, 右焦点到直线(0,1)Ax的距离为 320xy（1 ）求椭圆的标准方程；（2 ）设椭圆与直线 相交于不同的两点 、 ，当 时，求()ykxmMNA实数 的取值范围.m中山市高二级 20122013 学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷（理科）答案一、选择题：ACCCD DDB二、填空题：9. 8； 10. ； 11. ； 12. ；218xy2,03,43813. ， ； 14. ， . （前空 3 分，后空 2 分）4P2168xy三、解答题： 15 解：（ 1）由原式得 ， （3 分）32()6fx . （6 分）2()3fx（2 ）令 ，解得 ， （9 分）()0fx191933x令 ，解得 或 ， （11 分）f所以 的单调递减区间为 ， （12 分）()fx191(,)3单调递增区间为 ， . （13 分）(,)(,)16. 解：（1 ）依题意得， 即 . （2 分）1,2nS21nS当 n2 时， ; （5 分）21 1()()()2nna n当 n=1 时， . （6 分）2131S所以 . （7 分）*()naN（2 ）由（1 ）得 ， （8 分）123nab由 ，可知 为等比数列. （10 分）2(1)29nnnb由 ， （11 分）213b故 . （13 分）19()98nnT17解：（1）在 中， ； （2 分）ABD22()cosamcA在 中， . （4 分）C22cosabc ， （5 分）222()amcAA化简为： ，22222 ()44acbca . （7 分）221()ambca（2 ）由 S= ，得 absinC= . （10 分）412cos4abA tanC=1，得 C= . （13 分）518. 解：设该厂每天安排生产甲产品 x 吨，乙产品 y 吨，则日产值 ，（1 分）82zxy线性约束条件为 . （3 分）73620540,xy作出可行域. （6 分）把 变形为一组平行直线系 ，由图812zxy8:12zlyx可知，当直线 经过可行域上的点 M 时，截距 最大，即 z 取最大l z值.解方程组 ，得交点 ， （10 分）73562040xy(5,7). （12 分）max81z所以，该厂每天安排生产甲产品 5 吨，乙产品 7 吨，则该厂日产值最大，最大日产值为 124 万元. （13 分）19. 解：（1 ）A （2，0，0） ，F（1 ，2， ） ，B（2，2，0） ，E（1，1， ） ，C （0 ，2，0 ）. ， （4 分）(,),(,1)FB . （6 分）120A所以 AF 和 BE 所成的角为 . （7 分）9（2 ）设平面 BEC 的一个法向量为 (,)nxyz又 (,0)BC(1,2BE则： ， .2nx 0z ， 令 ，则： , . （10 分）xzy(,21)nAA1 B CD B1 C1D1 E F . （12 分）523,AFnCOS设直线 和平面 所成角为 ，则： .BE53Sin即 直线 和平面 所成角的正弦值为 . （14 分）AFC20. 解：（1 ）依题意可设椭圆方程为 ， （1 分）21()xya则右焦点 . （2 分）2(1,0)Fa由题设条件： , 解得： . （4 分）323a故 所求椭圆的标准方程为： . （5 分）21xy（2 ）设 P 为弦 MN 的中点，联立 ， （6 分）23kmxy消 y 得： . （7 分）22(31)6(1)0kxk由于直线与椭圆有两个交点， 即 （8 分）,231k， 从而 ，231MNpmxk2pmyx.Apyk又 ，,AP则： ，即： ， （12 分）231mk231mk把代入得： ，解得： ；20由得： ，解得： . 2103k2所以， . （14 分）1m