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函数 性质研究班 级: 高一(三)班 指导教师:贾济元课题负责人:白昭昭xbay关于 y=ax+b/x 性质的研究报告一,课题背景 初中我们已经开始接触和学习了一系列函数,老师也教给我们研究函数的方法,而我们却未亲自动手研究总结函数的性质,今天我们也亲自动手研究函数的性质。基于新课改的背景下,我组决定在老师指导和小组同学们的合作下,展开对函数 y=ax+bx 的性质及在数学中和现实生活中的应用等问题的探讨。二,课题意义及目的通过此次研究性学习,我们不仅可以锻炼我们的动手能力和实践能力,改变以往“老师讲课,学生听课 ”的模式,使我们能通过自己的努力发现知识,获取知识,也使得我们的学习态度学习方法有一定的适当的改变.这对于我们的分析能力、学习能力,判断能力以及团队协作能力都是一种很好的锻炼和提升。以及掌握函数性质的探究角度和研究方法,为我们以后的学习积累经验和奠定基础。三,课题研究方法及目标小组合作,探究法,文献法,数据分析法,网络调查法。通过取一系列自变量的值画出函数图像,得出:此函数的定义域,值域,单调区间和单调性,奇偶性,此函数的应用。四,课题研究过程步骤当 a=0,b=0时 函数 y=ax+b/x 即为 X 轴当 a=0,b0时 函数 y=ax+b/x 即为双曲线当 a0,b=0时 函数 y=ax+b/x 即为直线以上上三种已学过,不做研究重点:当 a0,b0时;函数 ,此类函数称对号函数(对勾函数) ,又叫耐克函数。xbay1.a0,b0时; 当 a=1,b=1,即:函数为 xy1x -5 -4.5 -4 -3 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 3y -5.2 -4.72 -4.25 -3.33 -2.5 -2.17 -2 2 2.17 2.5 3.33由以上研究可知单调性: ;在(-,-1) ,上 分 别 单 调 递 减在 1,0()1xy(1,+)上分别单调递增;奇偶性:该函数为奇函数;定义域:(-,0)(0,+) ;值域:(-,-22,+ ) ;最值: x 取-1时,ymax =-2;当 x0时,x 取1时,ymin=2;, 当0当 a=2,b=1时,即:函数为 y12-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-8.25 -6.33333 -4.5 -3 3 4.5 6.333333 8.25 10.2108642246810121420 15 10 5 5 10 15 20 25由以上研究可知:单调性: 在 在xy12) 上 分 别 单 调 递 减 , ( 20),(上分别单调递增。),) , (,( 奇偶性:该函数为奇函数定义域: ),(),( 0值域: ),( 2最值:x0,当 x= 时,ymin=2222当 a=1,b=2时,即:函数为 xyx -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3y -5.4 -4.5 -3.67 -3 -3 3 3 3.67864224681015 10 5 5 10 15由以上研究可知:单调性:y=x+ 在(- ) , (0, )上分别单调递减,在(- ),x2,22,( )上分别单调递增。,2奇偶性:该函数为奇函数定义域: ),0(),(值域: 2最值:x0,当 x= 时,ymin=22222.a0时,x 取1时,y max=-2。时 , 当x a=-2,b=-1时,即:函数为 y=-2x- 1x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3y 10.2 8.25 6.33 4.5 3 -3 -4.5 -6.33121086422468101225 20 15 10 5 5 10 15 20 25由以上研究可知:单调性:y=-2x- 在 上分别单调递增,在(-x1)2,0(( )上分别单调递减。),2,奇偶性:该函数为奇函数定义域: ),0(),(值域: 2最值:x0,当 x= 时,ymax=-2222 a=-1,b=-2时,即:函数为 y=-x- xx -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3y 5.4 4.5 3.67 3 3 -3 -3 -3.6710864224681020 15 10 5 5 10 15 20由以上研究可知:单调性:y=-x- 在(- ) , (0, )上分别单调递增;在(x2,2) , ( )上分别单调递减。,奇偶性:该函数为奇函数定义域: ),0(),(值域: )2最值:x0,b0a=-1,b=1,即:函数为 y=-x+ x1-5 -4 -3 -2 -1 1 2 34.80 3.75 2.67 1.50 0.00 0.00 -1.50 -2.67 由以上研究可知;上 分 别 单 调 递 减在 ),0(1xf该函数为奇函数;定义域:(-,0)(0,+) ;值域:(-,+) ;最值:无最值a=-2,b=1,即:函数为 y=-2x+ x1x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3y 9.8 7.75 5.67 3.5 1 -1 -3.5 -5.6666710864224681020 15 10 5 5 10 15 20由以上研究可知;上 分 别 单 调 递 减在 ),0(12xf该函数为奇函数;定义域:(-,0)(0,+) ;值域:(-,+) ;最值:无最值a=-1,b=2.即:函数为 y=-x+ x2x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3y 4.6 3.5 2.33 1 -1 1 -1 -2.33 10864224681020 15 10 5 5 10 15 20由以上研究可知;上 分 别 单 调 递 减在 ),0(2xf该函数为奇函数;定义域:(-,0)(0,+) ;值域:(-,+) ;最值:无最值五课题结论y=ax+x/b 性质总结a0,b0大致图像定义域 (- ,0)(0,+)值域 (- ,-2 2 ,+)ab单调性 ;上 分 别 单 调 递 减在 ,()上 分 别 单 调 递 增在 ),(最值 x=- 时,y max =-2 ;时 , 当0xabab当 x0时,x= 时,y min=2 ;a0时,x= 时,y max=-2 ;a0,b0大致图像定义域 (- ,0)(0,+)值域 (- ,+)单调性 在(-,0) , (0,+)上分别单调递增最值 无;a0,b0大致图像定义域 (- ,0)(0,+)值域 (- ,+)单调性 在(-,0) , (0,+)上分别单调递减最值 无;6生活应用1.某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6t,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购面粉每次需支付运费900元。求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? 分析解答:设该厂应每隔 x 天购买一次面粉,其购买量为6x 吨,由题意知,面粉的保管等其他费用为36x+6(x-1)+6*2=6*1=9x(x+1) 。设平均每天所支付的总费用为 y 元,则 y=1/x9x(x+1)+900+6*1800=900/x+9x+10809利用对号函数的性质可知当 x=10时,取得最小值10989.即该厂应每隔10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少。在解决该实际问题时,无非是建立对号函数模型,然后再利用函数性质解决。2.设 f(x) =x-1/x 对任意 x1,+),f (mx)+mf(x)0恒成立,m 取值为多少?分析解答:显然 m0 ,由于函数 f(x) =x-1/x 在 x1,+)上是增函数。当 m0 时,f (mx)+mf(x)=2mx-(1+m 2)/(mx)是形如 f(x)=ax+b/x(a0,b0) ,在 x1,+)上递增,f (mx)+mf(x)0不恒成立,故此,m0不成立。当 m0 时,f (mx)+mf(x)=2mx-(1+m 2)/(mx)是形如 f(x)=ax+b/x(a0,b0) ,在 x1,+)上递减,则 x=1时,f (mx)+mf(x)取最大 m-1/m,于是 f(mx)+mf(x)0恒成立,也就是 f(mx)+mf(x)在x1,+) 上的最大值小于0,就是满足 m-1/m0和 m0,得出m-1,m 的取值范围则为(-,-1).3.经观测,某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度 v(千米/小时)之间有函数关系:y=920v/v+3v=1600( v0)在该时段时,当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大?最大车流量为多少?为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?这也为上述类问题,建立适当模型即可解决。七,研究心得通过这次研究学习,使我们的团队的合作精神得到提升,历练了我们每个人发现、解决问题的能力;于此同时,也培养了良好的沟通表达能力。我们觉得团队的力量是无限的,只要团队紧密合作,没有做不成的事,没有克服不了的困难。而且也体会到数学正是无处不在,不敢想象如果没有数学,我们的世界会是什么样子。
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