编号：时间：2021年x月x日学无止境页码：第10页 共10页大学高等数学,下考点分类通过整理的大学高等数学,下考点分类相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！ 08-12年高等数学下考点分类 一、 偏导数的几何应用 1. 12求曲面在点处的切平面和法线方程 解: 令，则 从而切点的法向量为 从而切平面为 法线方程为 2. 08设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数 解：方程组两端对求导，得 把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为 所求方向导数为 3. 08给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点。 证：令，则 从而曲面在点处的切平面为 ，其中为动点。 显然时成立，故切平面均过。 二、 多元函数的极限、连续、可微 1. 12证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数。 证明：因为 与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。 又 ， 或 ，或 于是函数在点存在有一阶偏导数。 2. 11设函数。试证在点处是可微的 解 用定义求出 3. 10证明：在点(0,0)处连续，与存在，但在(0,0)处不可微。 解：（1） 4. 09 5. 08 函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的 必要 条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的 充分 条件（填必要、充分或充要） 三、 复合函数求导 1. 12设，则 0 2. 12设,则 3. 12设, 求 解 令，则 ，于是用公式得 4. 11设, 则 5. 11设可微，且，则 6. 11设，其中可微，证明 证明 由于 7. ，将变换为下的表达式。 解： 8. 09 9. 09 设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。 解： 10. 09 求由方程组所确定的及的导数及。 解： 11. 08 设有连续偏导数，则 12. 08 设，求 解：两边取微分，得 从而， 四、 多元函数的极值 1. 12在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。 解 设点为，则 等价于求在约束之下的最小值。令 且由 解得驻点，最短距离为 2. 11若函数在点处取得极值，则常数 3. 11设长方形的长、宽、高分别为，且满足，求体积最小的长方体。 解 令，2 由，求出唯一驻点6 由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为37 4. 5. 09 求函数在圆域的最大值和最小值。 解：方法一：当时，找驻点 ，得唯一驻点 当时，是条件极值，考虑函数 ，解方程组 可得 所求最大值为，最小值为。 方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。 方法三：圆域可写成 最大值为4，最小值为。 08 设，则它有极小值 五、 梯度、方向导数 1. 12函数在点处沿指向点方向的方向导数 2. 3. 09 求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？ 4. 六、 二重积分 1. 12 设是所围成的区域, 则 2. 12计算二重积分，其中 3. 12设函数在内有连续的导数，且满足。求 解 用极坐标 两边求导得，标准化为 于是 由得，故 4. 11计算二重积分，其中D是顶点为的三角形闭区域。 解: 5. 09 交换二次积分的积分次序： 。 6. 09 求锥面被柱面割下部分曲面面积。 解： 7. 09（化工类做） 计算二重积分，其中为圆域。 8. 08 交换二次积分的积分次序 9. 08 求球面含在圆柱面内部的那部分面积 解：上半球面的部分为 七、 三重积分 1. 12设为两球的公共部分，计算三重积分 解 由 当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域， 当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域， 于是分段先二后一积分，得 2. 10计算三重积分，其中是由所围成的闭球体 解： 4 4 3. 09 计算。 解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则 原式 4. 08 计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域. 解：由对称性 从而 八、 曲线积分 1. 12设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分 2. 计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。 解 由于 补两条直线是逆向的闭曲线，故 原式 或由曲线积分与路径无关，直接得 原式得 或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式 或者由是全微分表达式，凑微分，因 及 得 原式 3. 11假设L为圆的右半部分，则 4. 11计算, 其中是椭圆的正向一周 解: 由格林公式 5. 11计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点，为终点的光滑曲线 解 2 所求解问题与路径无关，选折线 7 6. 7. 8. 10计算 9. .10计算 10. 09 11. 09 计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。 解：在的内部作圆并取逆时针方向， 的参数方程为 由格林公式有 12. 08 计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。 解：由于， 从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关 取路径， 九、 曲面积分 1. 12 计算曲面积分 ，式中是上半球面的上侧 解 补一个平面，取下侧，则原式 另法（看看: 归一化，多次换元够烦的） 即，上半球面指向上侧法线为，从而 , 原式= 2. 12 求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。 解 记为在部分的面积， 或者 3. 计算, 其中是平面被圆柱面截出的有限部分 解 由题意或 从而 4. 计算曲面积分,其中为柱面介于与之间的在第一卦限部分的前侧. 解 补平面区域取上侧， 取下侧， 取左侧， 取后侧。与原来曲面形成封闭曲面的外侧, 围成由高斯公式 故 原式 5. 10 计算 6. 10 计算曲面积分其中为上半球面的上侧。 7. 09 向量场的散度为。 8. 09 计算曲面积分，其中是半球面的上则。 解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得原式 9. 08 向量场的散度为. 向量场的旋度为. 10. 08 设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分 0 ， 11. 08计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧 解：取上侧，则原式 十、 微分方程 1. 12求定解问题的解 解 标准化 ，由标准方程的解的公式，得 由初值条件，有，于是特解为 2. 12求微分方程的通解 解 对应的齐次方程为，解得特征根 非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而， ，代入原来的微分方程，得 即 于是根据解的结构定理得，所求通解为 3. 11求微分方程的通解 解 方程即 4. 11求微分方程的通解 解 对应的齐次方程的特征方程为 对照非齐次项的标准形式不是特征根，故 特解的待定形式为，代入非齐次方程，得 从而原方程的通解为 5. 求解微分方程初值问题 解 是一个特解2 故通解为4 由，又 从而特解为6 6. 10设都是方程的解，则该方程的通解为 7. 10求微分方程的通解。 8. 10求微分方程的通解。 9. 10求微分方程 10. 10 求微分方程的通解。 11. 09 求如下初值问题的解 解：此为可降阶微分方程第三种类型。 设，则，原方程化为 变量分离两边积分得 由可得 解可得， 由可得 所求解为：。 12. 09 求方程的通解。 解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以 的通解为 因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得 原方程通解为 13. 08 求微分方程的通解 解：， ， 14. 08 计算满足下述方程的可导函数， 解：原方程两端求导得 即，这是标准的一阶线性微分方程 原方程令得，代入通解得，从而 15. 08求解初值问题 解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为， 特征根为，从而对应通解为 容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为 从而，由初值条件可得。 因此 十一、 级数 1. 12判别无穷级数的收敛性。 解 由于，故 而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。 2. 12求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。 解 比较标准幂级数，得 ， 从而收敛半径为，收敛区间为 当时幂级数化为正项级数， 由于，从而与调和级数一样发散；当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。 3. 12将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。 解 利用， 从而 4. 11求幂级数的收敛域. 解 2 当时，由于，级数发散，3 当时，由于，由交错级数的莱布尼茨判别法知该级数收敛，5 故幂级数收敛域为6 5. 11将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间. 解 由于， 3 从而7 6. 11设函数是以为周期的函数，将其展开成余弦级数，并确定其成立的范围。. 解: ，1 5 所以 7 7. 10求幂级数的收敛域。 8. 10将函数展开成迈克劳林级数，并确定其成立区 9. 10 设函数是以为周期的周期函数，它在尚的表达式为，将其展开成傅里叶级数，并确定其成立范围。 10. 09 证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。 11. 09 将函数展成余弦级数。 12. 09 求幂级数的收敛半径和收敛域。 13. 08 设且，试根据的值判定级数的敛散性。 14. 08 设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将展开成傅里叶级数。 15. 08 设，证明满足微分方程，并求。