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2010年全国高中数学联合竞赛一试试题(A)一、填空题(本题满分64分,每小题8分),则_.8.方程 满足的正整数解的个数是_.考试时间:2010年10月17日 9:4012:10一、(本题满分40分)如图,锐角三角形的外心为,是边上一点(不是边的中点),是线段延长线上一点,直线与交于点,直线与交于点.求证:若,则四点共圆.二、(本题满分40分)设是给定的正整数,.记,.证明:存在正整数,使得为一个整数.这里,表示不小于实数的最小整数,例如.三、(本题满分50分)给定整数,设正实数满足,记求证:.四、(本题满分50分)一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准 一、填空题1. 2.3. 4. .5. 6.7. 8.1.2.3.由对称性知,只需先考虑x轴上方的情况,设与双曲线右半支交于点,与直线交于点,则线段内部的整点个数为,从而在轴上方区域内部整点的个数为又x轴上有98个整点,则所求整点个数为.4.5.6.=.7.8.二、解答题9. 10.11. 2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案与评分标准一、二、三、四、
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