2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A）一、填空题（本题满分64分，每小题8分）,则_.8.方程 满足的正整数解的个数是_.考试时间：2010年10月17日 9：4012：10一、（本题满分40分）如图，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点.求证：若,则四点共圆.二、（本题满分40分）设是给定的正整数，.记,.证明：存在正整数,使得为一个整数.这里，表示不小于实数的最小整数，例如.三、（本题满分50分）给定整数,设正实数满足,记求证：.四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准 一、填空题1. 2.3. 4. .5. 6.7. 8.1.2.3.由对称性知，只需先考虑x轴上方的情况，设与双曲线右半支交于点，与直线交于点，则线段内部的整点个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为又x轴上有98个整点，则所求整点个数为.4.5.6.=.7.8.二、解答题9. 10.11. 2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案与评分标准一、二、三、四、