第五届数学竞赛决赛试题及答案 一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分） 二、填空题（共40分，每小题5分） 1.在下面的“”中填上合适的运算符号，使等式成立： （1992）（1992）（1992）=1992 2.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。那么，这个等腰梯形的周长是_厘米。 3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有_人已经就座。 4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。a=_，r=_。 5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。其中年龄最大的老人今年_岁。 6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少_个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。 7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。那么得分最少的选手至少得_分，至多得_分。（每位选手的得分都是整数） 8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。那么，只有当锯得的38毫米的铜管为_段、90毫米的铜管为_段时，所损耗的铜管才能最少。 三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分） 1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。现由甲工程队先修3天。余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？ 2.一个人从县城骑车去乡办厂。他从县城骑车出发，用30分钟时间行完了一半路程，这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米。又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂，求县城到乡办厂之间的总路程。 3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）。将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米。求这个大长方体的体积。 4.某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所 多35本。第2次他们把剩下的书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打11包。这批书共有多少本？ 四、问答题（共35分） 1.有1992粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。问：保证一定获胜的对策是什么？（5分） 2.有一块边长24厘米的正方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？（6分） 3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品，需要如图13所示的（a）、（b）两种形状的铁皮毛坯。 现有甲、乙两块铁皮下脚料（如图14、图15），图13、图14、图15中的小方格都是边长相等的正方形。金师傅想从其中选用一块，使选用的铁皮料恰好适合加工成套的这种铁皮制品（“成套”，指（a）、（b）两种铁皮同样多），并且一点材料也不浪费。问：（1）金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块？（3分） （2）怎样裁剪所选用的下脚料？（请在图上画出裁剪的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯）（5分） 4.只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除。怎样修改？（6分） 5.（1）要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子（每块巧克力最多只能切成两部分），怎么分？（5分） （2）如果把上面（1）中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？（5分） 详解与说明 一、计算题 说明：要想得到简便的算法，必须首先对题中每个数和运算符号作全面、 ，马上就应该知道它可以化为3.6；而3.6与36只差一个小数点，于是，又容易想到把“654.336”变形为“65433.6”，完成了这步，就为正 ”采用了同样的手段，这种技巧本报多次作过介绍。 说明：解这道题可以从不同的角度来观察。解法一是先观察、比较分子部分每个加数（连乘积）的因数，发现了前后之间的倍数关系，从而把“1324”作为公因数提到前面，分母部分也作了类似的变形。而解法二，是着眼于整个繁分数，由分子看到分母，发现分子部分的左、中、右三个乘 分子部分括号内三个乘积的和约去了。本题是根据数学之友（7）第2页例5改编的。 3.解法一： 解法二： 说明：解法一是求等比数列前n项和的一般方法，这种方法本报217期第一版“好伙伴信箱”栏中曾作过介绍。由于本题中后一个加数总是前一个加数的一半，因而，只要添上一个最小的加数，就能凑成“2倍”，也就是它前面的一个加数，这就不难想到解法二。 二、填空题 1.解： （199+2）（1+9-9+2）（19-9-2） =8338 =1992 或（1992）（1992）（19-9+2） =83212 =1992 （本题答案不唯一，只要所填的符号能使等式成立，都是正确的） 说明：在四个数字之间填上三个运算符号，使它们的计算结果为某个已知数，这是选手们熟悉的“算式谜”题。而这道题却不容易一下子判断括号内的计算结果应该是多少，这就需要把1992分解为三个数连乘积的形式，1992=833222，因为83、3、2、2、2组成三个乘积为1992的数有多种组合形式，所以填法就不唯一了。 2.解：55+15+252=120（厘米） 说明：要算周长，需要知道上底、下底、两条腰各是多长。容易判断：下底最长，应为55厘米。关键是判断腰长是多少，如果腰长是15厘米，152+25=55，说明上底与两腰长度之和恰好等于下底长，四条边不能围成梯形，所以，腰长只能是25厘米。读者从本报190期第三版任意三根小棒都能围成三角形吗一文中应当受到启发。 3.解：最少有 说明：根据题意，可推知这排长椅上已经就座的任意相邻的两人之间都有两个空位。但仅从这个结果中还不能肯定长椅上共有多少个座位，因为已经就座的人最左边一个（最右边一个）既可以坐在左边（右边）起第一个座位上，也可以坐在左边（右边）起第二个座位上（如图16所排出的两种情况，“”表示已经就座的人，“”表示空位）”。 不过，题目中问“至少”有多少人就座，那就应选第二种情况，每三人（）一组，每组中有一人已经就座。 （1） （2） 图16 4.解法一：由199246=4314 立即得知：a=43，r=14 解法二：根据带余除法的基本关系式，有 1992=46a+r（0ra） 由r=1992-46a0，推知 由r=1992-46aa，推知 因为a是自然数，所以a=43 r=1992-4643=14 说明：本题并不难，因此应尽可能运用简单的方法，迅速地算出答案。解法一是根据1992a的商是46，因而直接用199246得到了a和r。解法二用的是“估值法”。 5.解法一：先算出这25位老人今年的岁数之和为 2000-252=1950 年龄最大的老人的岁数为 1950+（1+2+3+4+24）25 =225025 =90（岁） 解法二：两年之后，这25位老人的平均年龄（年龄处于最中间的老人的年龄）为200025=80（岁） 两年后，年龄最大的老人的岁数为80+12=92（岁） 年龄最大的老人今年的岁数为92-2=90（岁） 说明：解法一采用了“补齐”的手段（详见本报241期第一版“削平”与“补齐”一文）。当然，也可以用“削平”法先求年龄最小的老人的岁数，再加上24。解法二着眼于25人的平均年龄，先算年龄处于最中间的老人的岁数，算起来更简便些。 6.解：根据“抽屉原理”，可知至少7个学生中有两人所借图书的种类完全相同。 说明：本题是抽屉原理的应用。应用这个原理的关键是制造抽屉。从历史、文艺、科普三种图书若干本中任意借两本，共有（史，史）、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、（文，科）这六种情况，可把它们看作六只“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。换句话说，如果把借书的学生看作“苹果”，那么至少7个苹果放入六个抽屉，才能有两个苹果放在同一个抽屉内。本题是由本报234期“奥林匹克学校”拦的例2改换而成的。 7.解：得分最低者最少得 404-（90+89+88+87）=50（分） 得分最低者最多得 404-90-（1+2+3）4=77（分） 说明：解这道题要考虑两种极端情形： （1）要使得分最低的选手的得分尽可能地少，在五名选手总分一定的条件下，应该使前四名领先于第五名的分数尽可能多才行。第一名得分是已知的（90分），这就要求第二、三、四名的得分尽可能靠近90分，而且互不相等，只有第二、三、四名依次得89分、88分、87分时，第五名得分最少。 （2）要使得分最低的选手得分最多，在总分和第一名得分一定的条件下，应当使第二、三、四、五名的得分尽可能接近。考虑到他们的得分又要互不相等，只有当第二、三、四、五名的得分为四个连续自然数时才能做到，用“削平”的方法可以算出第五名最多得多少分。 本题是根据数学之友（7）第46页第13题改编的。 8.解：设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有 38X+90Y+（X+Y-1）=1000