5.3 概率5.3.2事件之间的关系与运算,人教版高中数学B版必修二,第五章 统计与概率,一,二,一、事件的关系 1.填空,一,二,2.做一做:掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判断A,B,C之间的包含关系. 解:当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此AC,BC;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系.综上所述,事件A,B,C之间的包含关系为AC,BC,一,二,二、事件的运算 1.填空. (1)和事件与积事件,一,二,2)互斥事件与对立事件,一,二,3)互斥事件的概率加法公式 当A与B互斥(即AB=时),有P(A+B)=P(A)+P(B). 推广:一般地,如果A1,A2,An是两两互斥的事件,则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An,一,二,2.如何理解互斥事件与对立事件? 提示:(1)事件A与事件B互斥表示事件A与事件B不可能同时发生,即A与B两个事件同时发生的概率是0. (2)互斥事件是指事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生,具体包括三种不同情形:事件A发生且事件B不发生;事件A不发生且事件B发生;事件A与事件B均不发生. (3)在一次试验中,事件A和它的对立事件只能发生其中之一,并且必然发生其中之一,不可能两个都不发生. (4)根据对立事件的概念易知,若两个事件对立,则这两个事件是互斥事件;反之,若两个事件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件. (5)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B对立,则A与B互斥,而且AB是必然事件,一,二,3.做一做:某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中,一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示: (1)求有4人或5人外出家访的概率; (2)求至少有3人外出家访的概率. 解:(1)设派出2人及以下为事件A,3人为事件B,4人为事件C,5人为事件D,6人及以上为事件E,则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D,C,D为互斥事件,根据互斥事件概率的加法公式可知,P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4. (2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下外出家访,由对立事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,互斥事件与对立事件的判定 例1某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件: (1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”; (2)“至少有1名男生”与“全是男生”; (3)“至少有1名男生”与“全是女生”; (4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”. 分析:紧扣互斥事件与对立事件的定义判断,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解:从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女. (1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件. (2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件. (3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件. (4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟互斥事件和对立事件的判定方法 1.利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,熟知它们对事件结果的影响. 2.利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B. (1)若事件A与B互斥,则集合AB=; (2)若事件A与B对立,则集合AB=且AB,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练1把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是() A.对立事件B.不可能事件 C.互斥但不对立事件D.以上答案都不对 答案:C 解析:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,事件的运算 例2 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1=出现1点,事件C2=出现2点,事件C3=出现3点,事件C4=出现4点,事件C5=出现5点,事件C6=出现6点,事件D1=出现的点数不大于1,事件D2=出现的点数大于3,事件D3=出现的点数小于5,事件E=出现的点数小于7,事件F=出现的点数为偶数,事件G=出现的点数为奇数.请根据上述定义的事件,回答下列问题: (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件; (2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件. 分析:根据事件间的定义进行求解,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解:(1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1D3,C2D3,C3D3,C4D3. 同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5. 易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1. (2)因为事件D2=出现的点数大于3=出现4点或出现5点或出现6点, 所以D2=C4C5C6(或D2=C4+C5+C6). 同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,方法总结事件间运算方法 (1)利用事件间运算的定义,列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算. (2)利用Venn图,借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练2盒子里有6个红球、4个白球,现从中任取3个球,设事件A=3个球中有一个红球、两个白球,事件B=3个球中有两个红球、一个白球,事件C=3个球中至少有一个红球,事件D=3个球中既有红球又有白球. (1)事件D与事件A,B是什么样的运算关系? (2)事件C与事件A的交事件是什么事件? 解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球,故D=AB. (2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球或3个红球,故CA=A,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,互斥事件的概率 例3在数学考试中,小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18,在8089分的概率是0.51,在7079分的概率是0.15,在6069分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率和小明考试及格的概率. 分析:利用互斥事件的概率加法公式求解. 解:分别记小明的考试成绩在90分以上(含90分),在8089分,在7079分,在6069分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上(含80分)的概率是P(BC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. 小明考试及格的概率为P(BCDE)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,反思感悟(1)当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率加法公式计算. (2)使用互斥事件的概率加法公式P(AB)=P(A)+P(B)时,必须先判定A,B是互斥事件,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,延伸探究你能否求出小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率? 解:小明在数学考试中取得70分以下成绩的概率P=1-P(B)-P(C)-P(D)=1-0.18-0.51-0.15=0.16,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,对立事件的概率 例4(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为() A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7 答案:B 解析:设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4. 方法总结求对立事件概率的关注点 当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其反面,通过求对立面,然后转化为所求问题,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,变式训练3从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为 ,那么所选3人中都是男生的概率为,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,复杂事件概率的求法数学方法 典例某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中: (1)射中10环或7环的概率; (2)不够7环的概率. 点拨先设出事件,判断各事件是否互斥或对立,再使用概率公式求解,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,解:(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为AB. 故P(AB)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49, 所以射中10环或7环的概率为0.49. (2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环,5环,4环,3环,2环,1环,0环,但由于这些事件概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,不够7环的反面为大于等于7环,即7环,8环,9环,10环,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,方法点睛(1)对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率等于这些事件概率的和.互斥事件的概率加法公式可以推广为P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An),其使用的前提条件仍然是A1,A2,An彼此互斥.故解决此类题目的关键在于分解事件及判断事件是否互斥. (2)“正难则反”是解决问题的一种很好的方法,应注意掌握,如本例中的第(2)问,直接求解比较麻烦,则可考虑求其对立事件的概率,再转化为所求,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,1)甲获胜的概率; (2)甲不输的概率,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,1.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=两次都击中飞机,B=两次都没击中飞机,C=恰有一枚炮弹击中飞机,D=至少有一枚炮弹击中飞机.下列关系不正确的是() A.ADB.BD= C.AC=DD.AC=BD 答案:D 2.若干个人站成一排,其中为互斥事件的是() A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,思维辨析,当堂检测,3.在试验中,若事件A发生的概率为0.2,则事件A的对立事件发生的概率为() A.0.9B.0.8C.0.7D.0.6 答案:B 4.在不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球,从中摸出