息工程公学训子政礼学院定义1.7.1使图形不变形地变到与自身重合的变换称为这个图形的对称变换(symmetrictransfor-mation).一个图形的一切对称变换关于变换的乘法构成群,这个群称为这个图形的对称变换群.一个图形的对称变换群常可以用一个置换群来表示,它能很好地反映图形的对称性质,是研究图形的对称性质的有力工具.例1求正方形的对称变换群.图1.7.1不难看出,正方形的对称变换只有两种:(U分别绕中心点0按逆时针方向旋转90“、180:270360的旋转;LuG)关于直线D、一的镜面反射.命图1.7.1_.为丁用置换来表示正方形的对称变换,我们用数字L、2、3、4来代表正方形的四个顶点(如图1.7.0.显然,正方形的每一个对称变换都导致了这四个顶点的一个置换.如果对称变换将顶点变为顶点E,那么我们用置换12“34吊肥阪的弛来表示这个对称变换.易知,由正方形的每一个对称变换,都可惟一地确定一个4阶置换,且不同的对称变换对应了不同的置换.所以,正方形的每一个对称变换,都可用惟一的一个四阶置换来表示.表1.7.1列出了正方形的对称变换及其相应的置挽表示固水C表示绕中心旋转90*(1234).表示绕中心旋转180“(13)C24)C表示绕口心旋转270(L1432)1表示绕师心旋转3607佩等取挽O表示关于D的反寺(2)G4v表示关于乙的反射(L4)(23)“表示关于乙的反寺(C24)表示关于Z的及肚03)表1.7.1可知,两个对称变换的乘积对应于相应的置换的乘积.所以正方形的对称变换群是5,的一个子群,记作DJ.由表17.1可知|DJ|=8.一般地,正n边形(“3)的对称变换群是5,的个子群,记作D,称为二面体群.易知,正边形有h个旋转(包括恒等变换)和n个反射,所以,二面体群的阶数是2n.例2求正四面体的对称变换群.一个正四面体可以内接于一个正方体(见图1.7.2)把正四面体的四个顶点标上土2、3、4四个数字,则正四面体的每一个对称变换都可用一个4阶置换来表示.训因此,正四面体的对称变换群是5,的一个子群.共有24个4阶置换,但并非每一个置换都表示正四面体的对称变换.如镜面反射(12)就不是正四面体的对称变换.口面中心的轴按逆时针方向旋转120,240的旋转是正面体的对称变换,这样的变换有8个.另一方面,绕任一条过正方体的对面中心的轴旋转180的旋转b是正四面体的对称变换,这样的变换有3个.