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第六章 离散时间系统结构 6.0 引言 6.1 线性常系数差分方程的方框图表示 6.2 线性常系数差分方程的信号流图表示 6.3 IIR系统的基本结构 6.4 转置形式 6.5 FIR 系统的基本网络结构 例 例 续 * * 6.0 引言 第五章已经看到,具有有理系统函数的线性时不变系统可以由常系数差分方程来表示: 其系统函数为: 由于阶数、系数等的不同,这些系统可以很不相同,然而它们都可以拆分成一系列简单环节的组合。将一个比较复杂的系统,拆分成简单环节,有利于其具体实现。 本章就来讨论这些基本运算环节,及其如何联接构成复杂系统。 6.1 线性常系数差分方程的方框图表示 本节内容类似连续时间系统理论中的方框图。 基本运算环节包括: 两序列相加 序列乘以常数 单位延迟 线性常系数差分方程中,包含的基本运算环节只有这三种,因此能用线性常系数差分方程表示的系统,都可以用这些基本运算环节来表示。 + x2n x1n x1n+ x2n a axn xn z-1 xn xn-1 例:一个差分方程的方框图表示 yn a1yn-1+a2yn-2+b0xn 容易看出,在等号右边,包含了两个加法运算环节,和三个乘以常数的运算环节,而 yn-1、yn-2则是输出 yn加上时间延迟得到的。 因此最直观的方框图可以表示为: z-1 z-2 xn yn b0 a1 a2 yn-1 yn-2 但是一般来说,样本延迟为 M 的环节,实现是用级联 M 个单位延迟来完成。因此将方框图改为如下形式: 例:一个差分方程的方框图表示(续) z-1 z-2 xn yn b0 a1 a2 yn-1 yn-2 注意在这样的方框图中,箭头表示了信号的流向,同时也体现了各个运算环节的先后次序。例如 yn-2是在 yn-1的基础上再加上一个单位延迟完成的,在 a1yn-1和 a2yn-2都形成之后,再与 b0xn相加,得到 yn。 高阶差分方程的方框图直接 I型 不失一般性地,可以将高阶差分方程写成如下递推形式: 上式可以拆分为一对差分方程: 相应的系统函数为: 6.9 由这对差分方程可画出方框图: 这种方框图可以由差分方程直接观察而得到。 vn yn xn z-1 b0 b1 xn-1 z-1 b2 xn-2 z-1 bM xn-M bM-1 z-1 z-1 z-1 yn-1 yn-2 yn-N aN-1 a1 a2 aN 高阶差分方程的方框图直接II 型 规划性 直接 I 型对差分方程的拆分,等同于对系统函数的如下分解: 则有,V z H1 z X z ;Y z H2 z V z 若将 H1 z 和 H2 z 顺序颠倒,即将系统函数拆分成: 则有,W z H2 z X z ;Y z H1 z W z 直接 II 型 直接 II 型对系统函数的分解,等同于对差分方程的拆分: 交换 H1 z 和 H2 z 顺序,可得方框图: 注意,一般来说,N 和 M 是不一样大的,因此两边的结构深度不一样。中间的延迟环节对两边结构来说,是相同的,也即延迟环节可以被两边的结构共用,这样,将中间的延迟环节合并,就产生了一种可以使得延迟环节个数最少的连接方式,这就是直接 II 型。 wn yn xn z-1 z-1 z-1 aN-1 a1 a2 aN z-1 b0 b1 wn-1 z-1 b2 wn-2 z-1 bM bM-1 直接II 型方框图 为方便起见,先假定 N M,则可得直接 II 型方框图: wn yn xn z-1 z-1 z-1 aN-1 a1 a2 aN b0 b1 wn-1 b2 wn-2 bN bN-1 直接 II 型是用到单位延迟个数最少的一种连接方式,所用最少单位延迟个数应当等于 max N, M 。 直接 I 型和直接 II 型 vn yn xn z-1 b0 b1 xn-1 z-1 b2 xn-2 z-1 bM xn-M bM-1 z-1 z-1 z-1 yn-1 yn-2 yn-N aN-1 a1 a2 aN H2 z H1 z 直接 I 型 直接 II 型 H1 z H2 z yn xn wn 由此示意图可知,直接 I 型可由系统函数或差分方程直接得到,而直接 II 型则是将直接 I 型的前后两个结构顺序反过来连接,并将中间的延迟单元共用。 例 系统函数: yn xn z-1 3 z-1 7 z-1 z-1 z-1 5 -8 -11 观察系统函数,直接可得直接 I 型系统的方框图,注意系数的符号: 交换直接 I 型系统的前后两部分,合并延迟环节,注意全部延迟环节个数应等于max N, M 。 yn xn z-1 z-1 z-1 -11 -8 5 3 7 6.2 线性常系数差分方程的信号流图表示 离散系统的信号流图与连续系统的信号流图,基本原理完全相同,由节点和支路组成。同时信号流图与方框图存在直接的对应关系,一般可以直接将方框图改成信号流图的形式。 例如: z-1 xn yn wn b0 b1 a yn xn b0 b1 a z-1 6.3 IIR 系统的基本结构 对于一个可以用线性常系数差分方程来表示的离散时间系统而言,其信号流图的形式往往不是唯一的,这些不同的信号流图,代表着相同的输入输出关系,和不同的内部实现结构。经常需要根据具体情况,选择不同的结构。 如前文介绍的,IIR 系统的差分方程中,同时包含输入 xn和输出 yn的时间延迟项,其基本结构有: 直接型 级联型 并联型 注意,方框图和信号流图一般都是表示实现方式的(也就是表示实际系统的结构) ,因此一般各个子系统的系数都为实数。 直接型 直接型即直接可以从差分方程: 观察得到的连接方式,也即前面方框图中所提到的直接 I 型和直接 II 型,只要将其转换为信号流图形式。 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 b0 b1 b2 bM-1 bM a1 a2 aN-1 aN yn-1 yn-2 yn-N+1 yn-N xn-1 xn-2 xn-M+1 xn-M yn xn vn 直接 I 型 直接 II 型 z-1 z-1 z-1 b0 b1 b2 bN-1 bN a1 a2 aN-1 aN yn xn wn 级联型 因式 用信号流图表示为: z-1 b z-1 a 因式 用信号流图表示为: 由于系统函数一般都能分解成上述两种因式的乘积,也即将 H z 写为: 其中一阶因子直接可用上述信号流图来表示,而每一对(通常还将分子与分母各一对二阶因子配成一个子系统,以减少延迟环节)二阶因子,即: 可用信号流图表示为: z-1 b1 z-1 b2 a1 a2 b0 例 当然,也可以拆分成一个一阶系统对,和一个二阶系统对,用直接 II 型来实现,以减少延迟环节: z-1 2 z-1 7 1 5 z-1 1 0.5 z-1 z-1 1 5 z-1 0.5 z-1 z-1 2 7 z-1 1 最直观地是从直接 I 型来实现: 并联型 将 H z 作部分分式展开,有: 其中 N N1+2*N2;N0M-N(MN) ,如果 M N,则第一项不存在。 经常将实极点成对组合,则系统函数可分解为: 如果 M N,则第一项不存在,后项中的每一子项,都可以由下列结构实现: z-1 e1 z-1 a1 a2 e0 再将这些子项并联相加,就得到整个系统的结构。 z-1 8 z-1 0.75 -0.125 -7 8 xn yn 经过上式的拆分,可以用并联型结构来实现: xn yn z-1 z-1 0.5 0.25 -25 18 8 或者将上式拆分两个一阶的部分分式: 则有信号流图: 注意到这种并联型联结方式,和前面一种并联型结构,所用到的延迟环节是一样多的。 并且如果用直接 II型结构,同样也是两个延迟环节。 这些不同的结构,在延迟环节上没有效率的差别,因而在实用中,就根据不同的具体情况,加以选择。 6.4 转置形式 将网络中所有支路的方向颠倒,但保持支路增益不变,并将输入与输出也颠倒过来,以使得源节点变成汇节点,汇节点变成源节点,则得到了系统的一种新的结构。这一过程,成为转置。 转置流图与原流图有相同的系统函数。 z-1 yn xn a z-1 yn xn a 按前向通道从左到右 转置 z-1 yn xn a 容易看出,转置前后,系统函数均为: 直接 I 型与转置 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 b0 b1 b2 bM-1 bM a1 a2 aN-1 aN yn xn 直接 I 型 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 z-1 b0 a1 a2 aN-1 aN b1 b2 bM-1 bM yn xn 转置
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