【题源】浙江学第一学期高二+高中联盟期中考题(刚考的) 作者： 日期：2 【题源】浙江2016学年第一学期高二9+1高中联盟期中考题（刚考的）【题目】如图，椭圆的短轴为，长轴端点为，两焦点为，将椭圆C沿短轴折成直二面角，P在两个半椭圆所形成的轨迹上运动，则下列结论正确的是（）取最大值时，点P在短轴的端点,取最小值时，点P在长轴的端点.A. B. C. D. 都不对【解析】由对称性，我们不妨假设为如图椭圆C在第一象限（含坐标轴）上的点（如图弧上的点），则，且，=所以=+问题转化为当时求+的最大、最小值.方法1三角代换法：令（其中），所以，所以（其中）=所以可看成，连线的斜率，而B在单位圆上如图的 上运动，1 当B在D点时有最大值，有最小值，此时所以，从而，在长轴端点时有最小值=+=2：当B在C点时有最小值，有最大值，此时，即所以，从而，即在短轴端点时有最大值=+=综合上述：均正确，答案选C方法2：单调函数法：+=，当时，上述函数显然在上递减，所以当时，即在短轴端点时有最大值当，在长轴端点时有最小值方法3：导数法：因为，对+关于求导得=0所以+在在上递减，所以当时，即在短轴端点时有最大值当时，即在长轴端点时有最小值方法4：方程有解法： 设则所以上述关于的方程在上有解，即，即，因为， 所以即，解得，所以而当最小时，即在长轴端点时有最小值而当最大时，即即在短轴端点时有最大值注：此题是浙江2016学年第一学期高二9+1高中联盟期中考题（刚考的），由于浙江高二（上）还没有学导数，所以只能不用导数的方法做.陈柏成于2016/11/144 / 4