计数原理单元复习【基础回顾】知识点一：分类计数原理与分步计数原理原理异同点分类计数原理分步计数原理定义如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法区别各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事知识点二：排列与组合1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合并成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)；(2)C性质(1)0！1；An！；(2)CC；CCC；(3)CC；(4)CCCCC(mn)；(5)CCCCCCCCC知识点三：.二项式定理1.二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)二项展开式的通项公式Tr1Canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数C(r0，1，2，n)2.二项式系数的性质(1)C1，C1，CCC.(2)CC.(3)当n为偶数时，二项式系数中，以最大；当n为奇数时，二项式系数中以和两者相等)最大.(4)CCC2n.3.二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C，C，一直到C，C.【典型例题】【例1】 （1）从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为()A300 B216 C180 D162(2) 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种 C24种 D36种(3) 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)拓展1甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A12种 B24种 C48种 D120种拓展2某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有()A80种 B90种 C120种 D150种拓展3 “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为_【例2】 (1)在二项式n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且AB72，则展开式中常数项的值为()A6 B9 C12 D18(2)若x9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，则的值为_拓展1将3展开后，常数项是_拓展213C9C27C310C311除以5的余数是_拓展3已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9，则(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2的值为()A39 B310C311 D312思考：设，（1）求证：，时，； （2）求的值（用表示）；（3）当时，试比较与的大小【总结反思】【巩固练习】一、单选题1如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有()A9个 B3个 C12个 D6个2甲、乙、丙、丁四个人到A，B，C三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到A景点的方案有()A18种B12种C36种 D24种3. 某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有()种A5 040 B1 260 C210 D6304. 190C902C903C(1)k90kC9010C 除以88的余数为()A1 B2C3 D45已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8()A5 B5C90 D180二、多选题6. 将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）A B. C. D. 187. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ）A. 所有项的二项式系数和为32B. 所有项的系数和为0C. 常数项为-20D. 二项式系数最大的项为第3项三、填空题8若(12x)2 020a0a1xa2x2a2020x2020，则等于_9. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有_种(用数字作答).四、解答题10用0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的七位数，其中：(1)能被25整除的数有多少个？(2)设x，y，z分别表示个位、十位、百位上的数字，满足xyz的数有多少个？(3)偶数必须相邻的数有多少个？11（1）设，求证：； （2）设，且，记集合的所有个元素的子集为，为中的最大元素，当时，求的值； 求的值计数原理单元复习课（参考答案）【典型例题】【例1】 （1）解析： C分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，共有CCA72(个)；第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，共有CC(AA)108(个)，所以满足题意的四位数共有72108180(个)（2）解析：因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作先把4项工作分成3组，即2,1,1，有C6(种)，再分配给3个人，有A6(种)，所以不同的安排方式共有6636(种)(3)解析：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有CC55(种)不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A12(种)不同的选法根据分步乘法计算原理知共有5512660(种)不同的选法答案 (1)D(2)660拓展1B解析 甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AACAA24(种)拓展2D 解析：有两类情况：其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有CA60(种)；其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有90(种)，所以共有150种，故选D. 答案：D拓展3解析 “渐升数”由小到大排列，形如的“渐升数”共有65432121(个)；形如的“渐升数”共有5个；形如的“渐升数”共有4个，故此时共有215430(个)，因此按从小到大的顺序排列的四位“渐升数”的第30个数为1 359. 答案 1 359【例2】 (1)解析 ：在二项式n的展开式中，令x1得各项系数之和为4n，所以A4n，二项展开式的二项式系数和为2n，所以B2n，所以4n2n72，解得n3，所以n3的展开式的通项为Tr1C()3rr，令0得r1，故展开式的常数项为T23C9.故选B. 答案 (1)B(2)解析 ：解析：令x2，得29a0a1a2a8a9，令x0，得0a0a1a2a8a9，所以a1a3a5a7a9a0a2a4a6a828.又x91(x1)9，其中T8C(x1)7，所以a7C36，故.答案：拓展1解析 36展开后的通项是C()6kk(2)kC()62k.令62k0，得k3.所以常数项是C(2)3160.答案 160拓展2解析 13C9C27C310C311(13)112112 0482 0453，它除以5余数为3.答案 3拓展3解析：对(x2)9a0a1xa2x2a9x9两边同时求导，得9(x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8，令x1，得a12a23a38a89a9310，令x1，得a12a23a38a89a932.所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a23a38a89a9)(a12a23a38a89a