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上 海 交 通 大 学 附 属 中 学 2013-2014 学 年 度 第 二 学 期 高 三 数 学 摸 底 试 卷一、填空题(本大题满分 56 分,每题 4 分,填错或不填在正确的位置一律得零分) 1、已知复数: ,则 z 的值为_ 2、 若 =0,则 的值为_33、 直线 和直线 平行,则_ -74、“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的_条件充分不必要条件 5、将函数 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是_6、10 张奖券中只有 3 张有奖,5 个人购买,每人一张,至少有 1 人中奖的概率是_7、若正数 , 满足 ,则 的最小值是_8、设点 是线段 的 中点,点 在直线 外, , ,则 2 9、已知 的最小值为 ,则二项式 展开式中 项的系数为 1510、已知等差数列 , 的前 n 项和分别为 , ,若对于任意的自然数,都有 则 = 11、(文)已知 是 上的增函数,那么实数 的取值范围是_(理)设 为实常数, 是定义在 R 上的奇函数,当 时,.若“存在 , ”是假命题,则 的取值范围为 12、已知正三棱锥 ,点 都在半径为 的球面上,若两两互相垂直,则球心到截面 的距离为_13、(文)已知 、 是椭圆 ( 0)的两个焦点, 为椭圆 上一点,且 .若 的面积为 9,则 =_3(理)设 是椭圆 的左焦点, O 为坐标原点,点 在椭圆上,则的最大值为 14、集合 ,若 , , 为 中最大数与最小数的和(若集合中只有一个元素,则此元素既为最大数,又为最小数),那么,对 的所有非空子集 ,全部 的平均值为_2015二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得 5 分,不选、选错或选出的代号超过一个,或者没有填写在题号对应的空格内,一律得零分。 15、函数 的图像大致为 ( )A16、过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线 ( ) BA.又且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 17、将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,600,采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第营区,从 301 到 495 住在第营区,从 496 到600 在第营区,三个营区被抽中的人数依次为 ( )BA26, 16, 8, B25,17,8 C25,16,9 D24,17,918、如果数列 满足:首项 ,且 ,那么下列说法正确的是( )DA. 该数列的奇数项 成等比数列,偶数项 成等差数列 B. 该数列的奇数项 成等差数列,偶数项 成等比数列 C. 该数列的奇数项 分别加 4 后构成一个公比为 2 的等比数列 D. 该数列的偶数项 分别加 4 后构成一个公比为 2 的等比数列三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤。 19、(本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) (文)已知向量 , , ,其中为 的内角 (1)求角 的大小; (2)若 ,且 ,求 的长。 解:(1) = = =-所以 ,则 ,故 或(舍) ,所以(2)由 得 ,由余弦定理及 得, , 由得 , 。(理)设函数 ( ) 的图象关于直线 对称,其中 为常数,且 。 (1)求函数 的最小正周期; (2)若 的图象经过点 ,求函数 的值域。 解:(1) = ,(2 分)且直线 是 =图象的一条对称轴,则 ,又 ,所以 ,(2 分) = ,所以 的最小正周期是 。(2 分)(2)由 = 的图象过点 ,得 ,即。(3 分) 所以 = ,(1 分),函数 的值域为(2 分)。20、(本题满分 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分) 如图,在长方体 ,中, ,点 在棱 上移动。 (1)求异面直线 与 所成角。 (2)(文)当 为 中点时,点求点 到平面 的距离。 (理) 等于何值时,二面角 的大小为 (1) 以 为原点 、 、 为 轴,设 ,则 =(1,0,1)(2分), =(1, ,-1)(2 分)。 =0(分),所以 其所成角为 (分)。 解二:三垂线定理;解三:实在不会做就硬做 (2) 文: , ,过 做 垂直 于 ,则,所以 = ,设点 到平面的距离 则由 有 得 = 。 理:过 做 垂直 于 ,连接 ,则 为二面角 的平面角(分),由题意得 , ,所以 = ,从而 = 解二:或利用空间向量(分)。21、(本题满分 14 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 5 分) 如图,已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ,椭圆的下顶点为 ,点是椭圆上任意一点,圆 是以 为直径的圆。 (1)若圆 过原点 ,求圆 的方程; (2)当圆 的面积为 时,求 所在直线的方程; (3)写出一个定圆的方程,使得无论点 在椭圆的什么位置,该定圆总与圆 相切,请写出你的探究过程 解:(1)解法一:因为圆 过原点 ,所以 ,所以 是椭圆的端轴顶点, 的坐标是 或 (分) ,于是点 的坐标为 或(分), 圆 的方程为 或(分)。解法二:设 ,因为圆 过原点 ,所以 , 所以 ,所以 , ,点 于是点 的坐标为 或 , 圆 的方程为 或。(2)设圆 的半径为 ,由题意, , ,所以 (分) 设 ,则。联立 ,解得( 舍去), 所以点 或(分) 所以 或 , 所以直线 的方程为 或 (分) (3)以原点为圆心, 为半径的定圆始终与圆 相内切。定圆的方程为(分) 探究过程为:设圆 的半径为 ,定圆的半径为 , 因为 ,所以当原点为定圆圆心,半径 时,定圆始终与圆 相内切。(分) 22、(满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 6 分) 已知函数 , 为正整数。 (1)求 和 的值; (2)若数列 的通项公式为 ( ),求数列 的前项和 ; (3)设数列 满足: , ,设,若(2)中的 满足对任意不小于 3 的正整数 n, 恒成立,试求 m 的最大值。 ks5u 解:(1) =1;(分) = = =1; (分) (2)由()得 ,即 由 , 得 由, 得 (分) , (分) (3) ,对任意的 , 即, 数列 是单调递增数列, 关于 n 递增. 当 , 且 时, .(分) .而 为正整数, 的最大值为 650。(分)23、(本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 7 分,第 3 小题 7 分) 已知函数 ( 、 是非零实常数)满足 ,且方程有且仅有一个实数解 (1)求 、 的值; (2)在直角坐标系中,求定点 到函数 图像上任意一点的距离 的最小值; (3)当 时,不等式 恒成立,求实数的取值范围。 解:(1)由 ,得 , 又 一定是方程 的解,所以方程 无解,或解为 。 若无解,则 (舍去);若解为 ,则 , 所以 , 。 (若化为一元二次方程讨论,得出正确结论也可) (2)由(1) , , 令 , ,则, 所以,当 ,即 时, 取最小值 。 (3)因为 ,所以当 时,不等式恒成立,可化为不等式 恒成立 当 ,即 时,原命题等价于 恒成立,因为 ,所以 ,从而得 。当 ,即 时,不等式不成立 当 ,即 时,原命题等价于 , 因为 ,所以 (舍)(15 分)所以 的取值范围是 。(3)的另一解法,把不等式看作关于 的一次不等式,则有从中解出
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