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成都崇文教育天府长城校区 1充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要体现在:运用韦达定理,求方程中参数的值;运用韦达定理,求代数式的值;利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征;利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等。韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。【例题求解】【例 1】 已知 、 是方程 012x的两个实数根,则代数式 )2(2的值为 。 思路点拨:所求代数式为 、 的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为 (例【例 2】如果 a、 b都是质数,且 0132ma, 0132mb,那么 ba的值为( ) A、 13 B、 215或 2 C、 5 D、 或 2思路点拨:可将两个等式相减,得到 a、 b的关系,由于两个等式结构相同,可视 a、 为方程02mx的两实根,这样就为根与系数关系的应用创造了条件。注:应用韦达定理的代数式的值,一般是关于 1x、 2的对称式,这类问题可通过变形用 1x+ 2、12表示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧:(1)恰当组合;(2) 根据根的定义降次;(3) 构造对称式。【例 3】 已知关于 x的方程: 04)2(mxx(1)求证:无论 m 取什么实数值,这个方程总有两个相异实根。(2)若这个方程的两个实根 1、 2满足 21,求 m 的值及相应的 1x、 2。思路点拨:对于(2),先判定 x、 的符号特征,并从分类讨论入手。【例 4】 设 1x、 2是方程 02342mx的两个实数根,当 m 为何值时, 21x有最小值?并求出这个最小值。思路点拨:利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示,再从配方法入手,应注意本例是在一定约束条件下(0)进行的。注:应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定理解题时,须满足判 成都崇文教育天府长城校区 2别式0 这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性。【例 5】 已知:四边形 ABCD 中, ABCD,且 AB、CD 的长是关于 x的方程047)21(2mx的两个根。(1)当 m2 和 m2 时,四边形 ABCD 分别是哪种四边形 ?并说明理由。(2)若 M、N 分别是 AD、BC 的中点,线段 MN 分别交 AC、BD 于点 P,Q,PQ1,且 ABBC)的长是关于 x的方程 x2+2(1-m)x+6m=0 的两个根。(1)求 rn 的值;(2)若 E 是 AB 上的一点,CFDE 于 F,求 BE 为何值时,CEF 的面积是CED 的面积的 31,请说明理由 16、设 m 是不小于 1的实数,使得关于 x的方程工 03)2(2mxx有两个不相等的实数根 1x、 2。(1) 若 621,求 m 的值。 (2)求 21xm的最大值。17、如图,已知在ABC 中,ACB=90 ,过 C 作 CDAB 于 D,且ADm,BD=n,AC 2:BC 2 2:1;又关于 x 的方程 012)(241mxnx两实数根的差的平方小于 192,求整数 m、n 的值。 成都崇文教育天府长城校区 518、设 a、 b、 c为三个不同的实数,使得方程和 012ax和 02cbx有一个相同的实数根,并且使方程 02ax和 02bcx也有一个相同的实数根,试求 a的值。19、如图,矩形 ABCD 中,已知边 AB、BC 的长恰为关于 x 的一元二次方程 x2-(m-2)x+3m=0 的两个根动点 P、Q 分别从点 B、C 出发,其中,点 P 以 a cm/s 的速度,沿 BC 的路线向点 C 运动;点 Q 以 3cm/s 的速度,沿 CD 的路线向点 D 运动若 P、Q 两点同时出发,运动时间为 t(s)(t0),且当 t=2 时,P、Q 两点恰好同时到达目的地(1)求 m、a 的值;(2)是否存在这样的 t,使得APQ 的外心恰好在APQ 的某一边上?若存在,请求出所有符合条件的 t 的值;若不存在,请说明理由 成都崇文教育天府长城校区 6参考答案 成都崇文教育天府长城校区 7
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