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华师大一附中 2012届高三数学第二学期开学检测试题一、填空题(本大题满分 56分)本大题共有 14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4分,否则一律得零分。1若集合 ,则 。1,23,2ABxN_AB2若复数 ( 为虚数单位)为实数,则实数 。iizmm3已知 ,且函数 的最小正周期为 ,则 。0a2sin()yaxa4在二项式 的项的系数是 。452,)1(x含的 展 开 式 中 _5 (理)若直线 与曲线 (参数 R)有唯一的公共点,则实数:lyk2cos:inxCy。k(文)若直线 与圆 有唯一的公共点,则实数 。:lx2:()1k6已知函数 的反函数为 ,若 ,则 的取值范围为1()2f(fx1()0fx。_7某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 的值是 。k_8若数列 满足 ,则 。na212,na12lim_nna9如图,在 中, , , 是边 的中点,则ABC 3ACDB。_D开始 k = 0S = 100iS 0 ?kk1S = S2 k是 输出 k结束否(第 7 题) C A BD10高三班共有 56人,学号依次为 ,现用系统抽样的办法抽取一个容量为1,23,564的样本,已知学号为 的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为6,348。_11 (理)已知数列 的通项公式为 ,集合 ,na3na*|,9,iAyaiN。现在集合 中随机取一个元素 ,则 的概率为*|41,BymNB。_(文)已知数列 的通项公式为 ,集合 ,na3na*|,10,iAyaiN。现在集合 中随机取一个元素 ,则 的概率为*|41,BymNBy。_12在平面直角坐标系 中,设直线 : 与圆 : 相交于 两xOyl10kxyC24xy,A点,以 为邻边作平行四边形 ,若点 在圆 上,则实数 。,ABAMB_k13对于问题:“已知关于 的不等式 的解集为 ,解关于 的不x20axbc (1,2)x等式 ”,给出如下一种解法:20axbc参考上述解法,若关于 的不等式 0cxbak的解集为 ,则x 1(,)(,32关于 的不等式 的解集为 。 x10kbac14已知集合 ,函数 的定义域、值域都是 ,且对于任意 ,,234A()f AiAif)(设 是 的任意一个排列,定义数阵 ,4321,a, 1234()()aafff若两个数阵的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两个不同的数阵,那么满足条件的不同的数阵共有 个。_二、选择题(本大题满分 20分)本大题共有 4题,每题有且只有一个正确答案. 考生应在解:由 的解集为 ,得 的解集为 ,即(1,2)2()()xc(,)关于 的不等式 的解集为 2c,答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.15已知 , , , 是空间四点,命题甲: , , , 四点不共面,命题乙:EFGHEFGH直线 和 不相交,则甲是乙成立的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件16已知点 ( )都在函数 ( )的图象上,则 与(,)na*Nxya01, 37a52的大小关系是( )(A) (B) 37a5 37a52(C) (D) 与 的大小与 有关2 a17 (理)若已知曲线 方程为 ,圆 方程为 ,1C21(0,)8yxy2C2(3)1xy斜率为 直线 与圆 相切,切点为 ,直线 与曲线 相交于点 ,(0)kl2Al1B,则直线 AB的斜率为( )3AB(A)1 (B) (C) (D)33(文)如 图 , 一 个 正 四 棱 锥 的 三 视 图 其 主 视 图 与 侧 视 图 都 是 边长为 2的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则此几何体的表面积是( )(A) (B)4343(C)12 (D)818已知函数 的图象关于点 对称,且函数 为1lg(),1()xfP(1)yfx奇函数,则下列结论:(1)点 的坐标为 ;(2)当 时, 恒成P(,)(,0)x0g立;(3)关于 的方程 有且只有两个实根。其中正确结论的题号为( x(),faR)(A) (1) (2) (B) (2) (3) (C) (1) (3) (D) (1) (2) (3)三、解答题(本大题满分 74分)本大题共有 5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19(本题满分 12分) 本题共有 2个小题,第 1小题满分 6分,第 2小题满分 6分.俯视图主视图 侧视图(理)如图,已知矩形 的边ACEF CE与正方形 所在平面垂直,BD 2AB, , 是线段 的中点。1AFM(1)求证: 平面 ;/(2)求二面角 的大小。F(文)如图,已知矩形 的边 与正方形 所在平面垂直, ,ACEFABCD2AB, 是线段 的中点。1AFM(1)求异面直线 与直线 所成的角的大小;B(2)求多面体 的表面积。D20(本题满分 14分) 本题共有 2个小题,第 1小题满分 6分,第 2小题满分 8分.在 中,三个内角 所对应的边为 ,其中 ,且 。ABC,ABC,abc10cos43AbBa(1)求证: 是直角三角形;(2)若 的外接圆为 ,点 位于劣弧 上, ,求四边形OPAC6P的面积。P21(本题满分 14分) 本题共有 2个小题,第 1小题满分 6分,第 2小题满分 8分.如图所示的自动通风设施该设施的下部 是等腰梯形,其中 米,梯形ABD1AB的高为 米, 米,上部 是个半圆,固定点 为 的中点 是由0.53CDmECEMN电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) , 是可以沿设施边框上下滑N动且始终保持和 平行的伸缩横杆(1)设 与 之间的距离为 米,试将三角通风窗 的通风面积 (平方米)表MNABx S示成关于 的函数 Sf;x(2)当 与 之间的距离为多少米时,三角通风窗 的通风面积最大?并求出这MNABEMN个最大面积。22(本题满分 16分)本题共有 3个小题,第 1小题满分 5分,第 2小题满分 5分,第 3小题满分 6分.已知椭圆 上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为21(0)xyab, 。3(1)求椭圆的方程;(2)如果直线 与椭圆相交于 ,若 ,证明直线 与直()xtR,AB(3,0)(,CDCA线 的交点 必在一条确定的双曲线上;BDK(3)过点 作直线 (与 轴不垂直)与椭圆交于 两点,与 轴交于点 ,0,QlxMN、 yR若 , ,证明: 为定值。RMN23(本题满分 18分)本题共有 3个小题,第 1小题满分 4分,第 2小题满分 6分,第 3小题满分 8分。设函数 ,数列 满足 。210xfna11,nnaf*,2Nn且求数列 的通项公式;na设 ,若 对 恒成立,求112345nTaa 2nTt*实数 的取值范围;t是否存在以 为首项,公比为 的等比数列 , ,使得1 *0,qNkna*N数列 中每一项都是数列 中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列 的knana knCA BM ND Em mA BCD EM N(第 21 题)通项公式;若不存在,说明理由。参考答案1 2 3 410 5 6 77 ,1ma3(2,)81 9 10 20 11理 文 120 13 59123,1(,14216 个 15A 16A 17C 18C19 (理)解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 2分2(0,)(,1),(2,0)(,20),(,21)MDBF(,),(,)C设平面 的一个法向量为 ,则BF(,)npqr020nDqrA取 ,得平面 的一个法向量1,pDBF为 ,6 分(2)n,0CMA所以 ,又因为直线 不在平面 内,所以 平面 。nCMDBF/CMBDF6分(2)由(1)知平面 的一个法向量为 ,而平面 的一个法向量为BF(1,2)nA,(0,)n 11分12cos,A所以向量 与向量 的夹角 ,从图中可以看出二面角 为锐二面角,Bn34ADBF所以所求二面角 的大小是 。 12 分ADBF4(文)解:(1)因为 ,所以 即为异面直线 与 所成的角(或其/CCMDCAB补角) , 2 分连结 ,在 中, 所以 ,ME1,2又 ,所以 ,所以 是等边三角形,3DF2FM 5分所以 ,即异面直线 与 所成的角为 ; 6 分60CCMAB60(2) 8分12,ABFS 10分DE2ABCS。 12 分442FDEABCS表20解:(1)由 得 2分cos,3bacossin2i,bBAB所以 或 , 4 分2A但 ,故 ,所以 ,所以 是直角三角形;ab2B2CA 6分(2)由(1)得 ,所以 ,,8b16824ABCS 8分在 中, ,APC,0cos5P, 10 分3413sinsi(60)20BAC A所以 1sin862APCSP所以 。 14 分83BA21解:(1) (i) 102x 时,由平面几何知识,得 1,32MNx所以 , 。3 分2(3)MN21()4Sfx(ii) 时, ,1x2 2991()()()()fxxx所以 6分2211,04()9()(),(,2)Sfxxx(2) (i) 10 时,当 时,取等号;229()()483fxx18x8分(ii) 时, 1,10 分22291()()9 94()()()4 8xfxx当 时,等号成立。2213,所以 时, 。12 分34xmax9()8f综上,当 MN与 AB之间的距离为 米时,三角通风窗 EMN的通风面积最大,最234大面积为 平方米。14 分9822解:(1)由已知3322aacc3分22bac所以椭圆方程为 。5 分219xy(2)依题意可设 ,且有00(,),)(,AtyBtKxy2019ty又 0:3:3)CyxDtt,将 代入即得2(9)201ty22(),xyy所以直线 与
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