3.3 二倍角的三角函数 典题精讲 例 1 化简98sin1=_. 思路分析： 98sin1 = 2 )49cos49(sin=|sin49 +cos49 | =sin49 +cos49=2sin(49 +45)=2sin94 =2cos4. 答案：2cos4 变式训练 ( 湖北高考卷，理3) 若ABC的内角 A满足 sin2A= 3 2 ，则 sinA+cosA 的值为（） A. 3 15 B.- 3 15 C. 3 5 D.- 3 5 思路分析： sin2A=2sinAcosA 0，cosA0. sinA+cosA0. 1+sin2A=(sinA+cosA) 2. 1+ 3 2 =(sinA+cosA) 2. (sinA+cosA)2= 3 5 . sinA+cosA= 3 15 3 5 . 答案： A 例 2 求下列各式的值. （1）cos 12 cos 12 5 ； （2） （cos 12 -sin 12 ） （cos 12 +sin 12 ） ； （3） 2 1 -cos 2 8 ； （4）- 3 2 + 3 4 cos 215. 思路分析：（ 1）题添加系数2，即可逆用倍角公式； （2）题利用平方差公式之后再逆用倍角公式；（ 3）中提取 系数 2 后产生倍角公式的形式；（4）则需提取系数 3 2 . 解： （1）cos 12 cos 12 5 =cos 12 sin 12 = 2 1 2cos 12 sin 12 = 2 1 sin 6 = 4 1 . （2） （cos 12 -sin 12 ） （cos 12 +sin 12 ） =cos 2 12 -sin 2 12 =cos 6 = 2 3 . （3） 2 1 -cos 2 8 =- 2 1 （2cos 2 8 -1 ）=- 2 1 cos 4 =- 4 2 . （4）- 3 2 + 3 4 cos 215= 3 2 （2cos 215-1 ）= 3 2 cos30= 3 3 . 绿色通道： 根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形 中一定要整体考虑式子的特征. 变式训练 求 sin10 sin30 sin50 sin70 的值. 思路分析： 由 sin30 = 2 1 ，原式可化为 2 1 sin10 sin50 sin70 ，再转化为 2 1 cos20cos40cos80，产 生成倍数的角，增加一项sin20 ，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形 的目的 . 解法一： sin10 sin30 sin50 sin70 = 2 1 cos20cos40cos80 = 20sin4 80cos40cos20cos20sin2 = 8 80cos40cos40sin2 = 20sin16 80cos80sin2 = 16 1 20sin16 160sin . 解法二：令M=sin10sin30 sin50 sin70 ，N=cos10 cos30cos50cos70， 则 MN=(sin10cos10)(sin30 cos30)(sin50 cos50)(sin70 cos70) = 4 2 1 sin20 sin60 sin100 sin140 = 4 2 1 cos10cos30cos50cos70= 4 2 1 N. M= 16 1 ， 即 sin10 sin30 sin50 sin70 = 16 1 . 例 3(2005 江苏高考卷，10) 若 sin （ 6 -） = 3 1 ，则 cos（ 3 2 +2）的值为（） A. 9 7 B.- 3 1 C. 3 1 D. 9 7 思路分析：观察发现 3 2 +2=2( 3 +) ，而 ( 3 +)+( 6 - )= 2 ，则cos( 3 +)=sin( 6 - ),cos （ 3 2 +2）=2cos 2( 3 +)-1=2sin 2( 6 - )-1= 9 7 . 答案： A 绿色通道： 通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对 所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累. 变式训练1 已知 sin （ 4 + ）sin （ 4 - ）= 6 1 ，且 （ 2 ， ） ，求 sin4 的值 . 思路分析： 发现 4 + 与 4 - 是互余关系， 将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生 倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2 的三角函数值，进一步可求4 的正弦值 . 解：（ 4 +）+（ 4 - ）= 2 ， sin （ 4 - ）=cos（ 4 +）. sin （ 4 +）sin （ 4 - ）= 6 1 ， 2sin （ 4 + ）cos（ 4 +）= 3 1 . sin （ 2 +2）= 3 1 . cos2 = 3 1 . 又 （ 2 ， ） ， 2（ ，2） . sin2 = 3 22 2cos1 2 . sin4 =2sin2 cos2= 9 24 . 变式训练2 设 5 6，cos 2 =a，则 sin 4 的值等于（） A. 2 1a B. 2 1a C. 2 1a D. 2 1a 思路分析： 4 显然是 2 的一半，可以直接应用公式. 5 6 ， 2 5 2 3, 4 5 4 2 3 . sin 4 = 2 1 2 2 cos1 a . 答案： D 例 4(2006 全国高考卷 , 理2) 函数 y=sin2xcos2x的最小正周期是（） A.2 B.4 C. 4 D. 2 思路分析： 将函数的解析式化为y=Asin( x+) 的形式 . y=sin2xcos2x= 2 1 sin4x ，则 T= 24 2 . 答案： D 绿色通道： 讨论三角函数的周期性时，先化简解析式再求周期. 化简的手段是：利用和差、倍角、半角等三角 公式；化简的结果是：将三角函数的解析式化为y=Asin( x+) 的形式，再利用公式T= 2 得周期 . 变式训练 (2006 陕西高考卷，理17) 已知函数 f(x)=3sin(2x- 6 )+2sin 2(x- 12 )(x R). （1）求函数f(x) 的最小正周期； （2）求使函数f(x)取得最大值的x 集合 . 思路分析： 将三角函数的解析式化为y=Asin( x+)+b 的形式 ,再讨论周期和最值. 解： (1)f(x)=3sin(2x- 6 )+1-cos2(x- 12 ) =2 2 3 sin2(x- 12 )- 2 1 cos2(x- 12 )+1 =2sin2(x- 12 )- 6 +1 = 2sin(2x- 3 )+1, T= 2 =. (2) 当 f(x)取最大值时， sin(2x- 3 )=1 ，有 2x- 3 =2k+ 2 (k Z). x=k+ 12 5 . 即使函数f(x)取得最大值的x 集合为 x R|x= k+ 12 5 ，k Z . 问题探究 问题试用tan 2 表示 sin ,cos ,tan . 导思：看到 和 2 ，联想到=2( 2 ) ，因此从二倍角公式的角度来探讨. 探究： 可以由倍角公式直接获得tan = 2 tan1 2 tan2 2 ；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母 同除以 cos 2 2 可得 sin =2sin 2 cos 2 = 2 tan1 2 tan2 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin2 1 2 cos 2 sin2 222 ， cos=cos 2 2 -sin 2 2 = 2 tan1 2 tan1 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 1 2 sin 2 cos 2 2 22 2222 . 用 tan 2 来表示 sin 、cos 和 tan 的关系式如下： sin =, 2 tan1 2 tan2 2 tan = 2 tan1 2 tan2 2 . 这三个公式统称为“万能公式”. 其优点是用正切函数来求二倍角的三角函数值会特别方便，也为一类三角函 数的求值提供了一座方便可行的桥梁. 如要计算cos 或 sin( + ) 的值，可以先设法求得tan 2 或 tan 2 的值 . 由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义. 所谓的“万能”是指：不论角 的哪一种三角函数，都可以表示成tan 2 的有理式 . 这样就可以把问题转化 为以 tan 2 为变量的“一元有理函数”，即如果令tan 2 =t ，则 sin 、cos 和 tan 均可表达为关于t 的 分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法来处理提供了一条途径. 如下面的 例题很好地体现了这一方法的作用。 例 1：求 tan15+cot15的值. 解法一： tan15=tan(45 - 30)= 3 3 1 3 3 1 30tan45tan1 30tan45tan =2-3, tan15+cot15=2 - 32 1 3=4. 解法二： tan15+cot15=tan15+ 30sin 2 115tan 15tan2 2 15tan 115tan 15tan 1 2 2 =4. 很明显解法二比解法一较方便地解决了问题，体现了万能公式的“万能”之处，值得我们借鉴. 例 2：求函数y= 2sin cos x x 的值域 . 思路分析： 先利用换元法，再利用判别式法求函数的值域. 解：令 tan 2 x =t ，则 t R, 利用万能公式有sinx= 2 1 2 t t ，cosx= 2 2 1 1 t t , y= 2 2 2 2 2 222 1 2 1 2 1 1 tt t t t t t （t R）. 整理得 (2y+1)t 2+2yt+2y-1=0. 当 2y+1=0, 即 y=- 2 1 时， t=- 1R. y=- 2 1 符合题意 . 当 2y+10 即 y- 2 1 时，关于t 的一元二次方程(2y+1)t 2+2yt+2y-1=0 必有实数根 . =4y 2-4(2y+1)(2y- 1)0. 解得 - 3 3 y 3 3 ， 即此时 - 3 3 y 3 3 且 y - 2 1 . 综上所得函数的值域是y|- 3 3 y 3 3 . 例 3：(2005 江西高考卷，文2) 已知 tan 2 =3, 则 cos 等于（） A. 5 4 B.- 5 4 C. 15 4 D. 5 3 思路分析： cos= 5 4 91 91 2 tan1 2 tan1 2 2 . 答案： B