用心 爱心 专心- 1 - 第 2 章 2.2.2 第 1 课时 ( 本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 20 分) 1一个顶点的坐标为(0,2)，焦距的一半为3 的椭圆的标准方程为( ) A. x 2 4 y 2 9 1 B. x 2 9 y 2 4 1 C.x 2 4 y 2 13 1 D. x 2 13 y 2 4 1 解析：由椭圆中ab，ac3，且一个顶点坐标为(0,2)知b2，b 24，且椭圆焦点 在x轴上，a 2 b 2 c 2 13. 故所求椭圆的标准方程为 x 2 13 y 2 4 1. 故选 D. 答案：D 2椭圆 x 2 25 y 2 9 1 上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A8,2 B5,4 C9,1 D5,1 解析：因为a5，c4，所以最大距离为ac9，最小距离为ac1. 答案：C 3已知F1、F2为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周 长为 16，椭圆离心率e 3 2 ，则椭圆的方程是( ) A. x 2 4 y 2 3 1 B. x 2 16 y 2 4 1 C. x 2 16 y 2 121 D. x 2 16 y 2 3 1 解析：由题意知4a16，即a4， 又e 3 2 ，c 23， b 2a2 c 216 124， 椭圆的标准方程为 x 2 16 y 2 4 1. 答案：B 4若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) 用心 爱心 专心- 2 - A. 1 2 B. 3 2 C. 3 4 D. 6 4 解析：依题意，BF1F2是正三角形， 在 RtOBF2中， |OF2| c，|BF2| a，OF2B60， acos 60 c， c a 1 2， 即椭圆的离心率e 1 2，故选 A. 答案：A 二、填空题 ( 每小题 5 分，共 10 分) 5已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为 3 2 ，且G上一点到两个焦点 的距离之和为12，则椭圆G的方程为 _ 解析：依题意设椭圆的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) ， 椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12， 2a12，即a6. 椭圆的离心率为 3 2 ， a 2 b 2 a 3 2 ， 36b 2 6 3 2 ， b 29， 椭圆G的方程为 x 2 36 y 2 9 1. 答案： x 2 36 y 2 9 1 6若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 _ 解析：设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a,2b,2c， 用心 爱心 专心- 3 - 由题意可得2a2c4b，ac2b，又ba 2 c 2， 所以ac2a 2 c 2， 整理得 5e 22e30，e3 5或 e 1( 舍去 ) 答案： 3 5 三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分) 7已知椭圆 x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的离心率e 6 3 . 过点A(0，b) 和B(a,0) 的直线与原点的 距离为 3 2 ，求椭圆的标准方程 解析：ec a a 2 b 2 a 6 3 ， a 2b2 a 2 2 3， a 23b2，即 a3b. 过A(0 ，b) ，B(a,0)的直线为 x a y b1. 把a3b代入，即x3y3b 0， 又由点到直线的距离公式得 | 3b| 13 2 3 2 ， 解得b1，a3， 所求方程为 x 2 3 y 21. 8. 如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横 坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 2 3，求椭圆的离心 率 解析：方法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c，则焦点为F1( c,0) ，F2(c,0) M点的坐标为c， 2 3b ， 则MF1F2为直角三角形 在 Rt MF1F2中， |F1F2| 2| MF2| 2| MF1| 2， 即 4c 24 9b 2| MF1| 2 . 而|MF1| |MF2| 4c 24 9b 22 3b2a ， 用心 爱心 专心- 4 - 整理得 3c 23a22ab. 又c 2a2 b 2，所以 3b2a. 所以 b 2 a 2 4 9. e 2c 2 a 2 a 2 b 2 a 21b 2 a 2 5 9， e 5 3 . 方法二：设椭圆方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0) ， 则M c， 2 3b ，代入椭圆方程，得 c 2 a 2 4b 2 9b 21， 所以 c 2 a 2 5 9， 所以 c a 5 3 ，即e 5 3 . 尖子生题库 9(10 分) 设P(x，y) 是椭圆 x 2 25 y 2 16 1 上的点且 P的纵坐标y0，点A( 5,0) 、B(5,0) ， 试判断kPAkPB是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 解析：因为点P的纵坐标y0，所以x5. 设P(x，y) 所以kPA y x5， kPB y x5. 所以kPAkPB y x5 y x5 y 2 x 225. 因为点P在椭圆 x 2 25 y 2 161 上， 所以y 216 1x 2 25 16 25x 2 25 . 把y 21625x 2 25 代入kPAkPB y 2 x 225，得 kPAkPB 16 25x 2 25 x 225 16 25. 所以kPAkPB为定值，这个定值是 16 25.