小学 +初中 +高中 +努力 =大学 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 2.4.2 抛物线的简单几何性质 预习导航 课程目标学习脉络 1. 理解抛物线的简单几何性质 2了解抛物线的简单应用 3归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性 质的异同. 1抛物线y 2 2px(p0) 的几何性质 思考1 掌握抛物线的性质，重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”，它们 分别指的是什么？ 提示： “两点”是指抛物线的焦点和顶点；“两线”是指抛物线的准线和对称轴；“一 率”是指离心率1；“一方向”是指抛物线的开口方向 思考 2 抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些？ 提示： 抛物线的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线它 没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线 2. 抛物线四种形式的标准方程及其性质 标准方程y 2 2 px(p 0) y 2 2px(p 0) x 2 2 py(p 0) x 2 2py(p 0) 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 小学 +初中 +高中 +努力 =大学 图象 性 质 范围x0，y Rx0，y RxR，yx R，y 对称轴x轴y轴 顶点原点O(0,0) 焦点 p 2， 0 p 2， 0 0， p 2 0， p 2 准线x p 2 x p 2 y p 2 y p 2 离心率e 1 思考 3 怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向？ 提示： 一次项的变量若为x( 或y) ，则x轴( 或y轴 )是抛物线的对称轴，一次项系数的 符号决定开口方向 如果y是一次项，负时向下，正时向上 如果x是一次项，负时向左，正时向右 名师点拨1. 对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析， 其共同 点： (1) 顶点都为原点；(2) 对称轴为坐标轴；(3) 准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别关于 原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 1 4； (4) 焦点到准线的距离均为 p. 其不同点：(1) 对称轴为x轴时，方程的右端为px，左端为y 2 ；对称轴为y轴时，方程 的右端为py，左端为x 2 ；(2) 开口方向与x轴( 或y轴 ) 的正半轴相同，焦点在x轴 ( 或y 轴) 的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x轴 ( 或y轴 ) 的负半轴相同，焦点在x轴( 或 y轴) 的负半轴上，方程的右端取负号 2只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程