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学案3 运 动 图 像,考点1 运动图像的理解与应用,两种图像的比较,1)无论是s-t图像还是v-t图像都只能描述直线运动。 (2)s-t图像和v-t图像不表示物体运动的轨迹,例1】从t=0时,甲、乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶,它们的 v-t图像如图所示。忽略汽车掉头所需时间。下列对汽车运动状况的描 述正确的是( ) A.在第1小时末,乙车改变运动方向 B.在第2小时末,甲、乙两车相距10 km C.在前4小时内,乙车运动加速度的大小 总比甲车的大 D.在第4小时末,甲、乙两车相遇,解析】在第1小时末,乙车速度仍为-30 km/h, 速度方向并未改变,所以A错误;前2小时内s甲=(1/2)230 km=30 km,s乙=(1/2)230 km=30 km,所以甲、乙两车相距s=l-(s甲+s乙)=70 km-(30 km+30 km)=10 km,即B正确;前4小时内,乙车两段斜线的斜率绝对值均比甲车一段斜线的斜率大,即乙的加速度总比甲的加速度大,则C正确;在第24小时内,s甲=(1/2)(30+60)2 km=90 km,而s乙=(1/2)602 km=60 km,并由B项可知第4小时末两车相距s=90 km-10 km-60 km=20 km,所以D错误,B C,1)抓住速度图像是速度随时间的变化规律,是物理公式的函数表现形式,分析问题时要做到数学与物理的有机结合,数学为物理所用。 (2)在速度图像中,纵轴截距表示初速度,斜率表示加速度,图像与坐标轴围成的“面积”表示位移,抓住以上特征,灵活分析,1,如图所示是A、B两物体从同一地点出发,沿相同的方向做直线运动的v-t图像,由图像可知( ) A.A比B早出发5 s B.第15 s末A、B速度相等 C.前15 s内A的位移比B的位移大50 m D.第20 s末A、B位移之差为25 m,D,例2】A、B两汽车站相距60 km,从A站每隔10分钟向B站开出一辆汽车, 汽车行驶的速度为60 km/h。 (1)如果在A站第一辆汽车开出时,B站也有一辆汽车以同样大小的速度 开往A站,问B站汽车在行驶途中能遇到几辆从A站开出的汽车? (2)如果B站汽车与A站的某一辆汽车同时开出,要使B站汽车在途中遇 到从A站开出的车数最多,那么B站汽车至少应在A站第一辆车开出 多长时间后出发(即应与A站第几辆车同时开出)?最多在途中能遇到 几辆车? (3)如果B站汽车与A站汽车不同时开出,那么B站汽车在行驶途中又最 多能遇到几辆车,解析】依题意在同一坐标系中 作出分别从A、B站由不同时刻开出 的汽车做匀速运动的s-t图像,如图 所示,从图中可一目了然地看出: (1)当B站汽车与A站第一辆汽车 同时相向开出时,B站汽车在s-t中图线CD与A站汽车的s-t图线有6个交点(不包括在t轴上的交点),这表明B站汽车在途中(不包括在站上)能遇到6辆从A站开出的汽车,图像解题的最大特点是直观、明了,但要对图像的物理意义认识清楚,2)要使B站汽车在途中遇到的车最多,它至少应在A站第一辆车开出50 min后出发,即应与A站第6辆车同时开出,此时对应B站汽车的s-t图线MN与A站汽车的s-t图线共有11个交点(不包括t轴上的交点),所以B站汽车在途中(不包括在站上)最多能遇到11辆从A站开出的车。 (3)如果B站汽车与A站汽车不同时开出,则B站汽车的s-t图线(如图中的直线PQ)与A站汽车的s-t图线最多可有12个交点,所以B站汽车在途中最多能遇到12辆车,2,甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到中点后改为跑步,而乙则是先跑步,到中点后改为骑自行车,最后两人同时到达B地;又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,并且二人骑车速度均比跑步速度快。若某人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用函数图像表示,则在图所示的四个函数图像中,甲、乙二人的图像只可能是(,A.甲是,乙是 B.甲是,乙是 C.甲是,乙是 D.甲是,乙是,B,例3】甲、乙两质点的运动情况 分别如图(甲)、(乙)所示,试 分别说明甲、乙两质点的运 动情况,考点2 s-t图像与v-t图像的比较,解析】由题图像(甲)可知,质点甲在05 s内沿正方向做匀速直线运动,其速度为v1=s/t=20/5 m/s=4 m/s;在5 s15 s内,质点甲保持静止;在15s20 s内,质点甲沿负方向做匀速直线运动,其速度为v2=s/t=-20/5 m/s=-4 m/s。 题图(乙)表示质点在05 s内沿正方向做初速度为零的匀加速直线运动,其加速度为a1=v/t=20/5 m/s2=4 m/s2;在5 s15 s内沿正方向做匀速直线运动,其速度为v=20 m/s;在15 s20 s内沿正方向做匀减速直线运动,其加速度为a2=v/t=-20/5 m/s2=-4 m/s2,3,如图所示,A图是质点甲运动的位移时间图像;B图是质点乙运动的速度时间图像,试叙述甲、乙两个质点的运动情况,答案】A图表示质点甲做往复的匀速 直线运动,其运动的速度大小为4 m/s。在 第1 s内质点甲沿规定的正方向,以4 m/s的 速度做匀速直线运动,在第1 s内的位移为 4 m;1 s末立即改为4 m/s的速度向反方向 做匀速直线运动,直至第3 s末,在第2 s末,质点回到了原出发点;第3 s末,质点在反方向上离开出发点4 m,且立即又以4 m/s的速度沿正方向运动,至第4 s末又回到原出发点。 B图表示质点乙做能返回的变速直线运动。第1 s内质点做初速度为零的匀加速直线运动,沿正方向运动,速度均匀增大到4 m/s;第1 s末到第2 s末,质点以4 m/s的初速度做匀减速直线运动,仍沿正方向运动,直至速度减小为零;第2 s末,质点沿反方向做以初速度为零的匀加速直线运动,速度均匀增大,直至达到4 m/s;从第3 s末起,质点仍沿反方向运动,以4 m/s为初速度做匀减速直线运动,至第4 s末速度减小为零。在头2 s内,质点离出发点4 m;在第2 s末到第4 s末这段时间内,质点沿反方向做直线运动,直到第4 s末回到出发点,考点3 利用运动图像解决追及、相遇问题,1.分析“追及”“相遇”问题应注意: (1)一定要抓住一个条件两个关系:一个条件是两物体的速度满足的临界条件,两个关系是时间关系和位移关系。其中通过画示意图找到两物体位移之间的数量关系,是解题的突破口。 (2)若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否停止运动。 (3)仔细审题,注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目的隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件。 2.解决追及相遇问题分为三种方法: (1)物理分析法:抓好“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键。 (2)图像法:将两者的速度-时间图像在同一坐标系中画出,然后利用图像求解。 (3)数学方法: 设相遇时间为t,根据条件列方程,得到关于时间t的一元二次方程,用判别式进行讨论。若0,即有两个解,说明可以相遇两次;若=0,说明刚好追上或相碰;若0,说明追不上或不能相碰。 求最大距离或最小距离时,先根据条件列出距离的表达式,然后求其极值,追及问题一般有以下几种情况,说明:表中的s是开始追及以后,后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移; s0是开始追及以前两物体之间的距离; t2-t0=t0-t1; v1是前面物体的速度,v2是后面物体的速度,解析】对这类问题的分析关键要抓住两点: (1)两车碰与不碰的临界条件是:两车的速度相等。 (2)两车刚好不碰时,找出两车运动的时间关系和位 移关系,然后据此列方程求解。 解法一:(物理分析法)A、B车的运动过程如图所示 利用位移公式、速度公式求解。 对A车有sA=v0t+(1/2)(-2a)t2 vA=v0+(-2a)t 对B车有sB=(1/2)at2,vB=at,对两车有s=sA-sB 追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB 联立以上各式解得v0= 故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0 。 解法二:(极值法)利用判别式求解,由解法一可知 sA=s+sB,即v0t+(1/2)(-2a)t2=s+(1/2)at2 整理得3at2-2v0t+2s=0 这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式=(2v0)2-43a2s0时,t无实数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0,例4】在水平轨道上有两列火车A和B相距s,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀 减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相 同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件,解法四:(相对运动法)巧选参考系求解。以B车为参考系,A车的初速度为v0,加速度为a=-2a-a=-3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是:vt=0,这一过程A车相对于B车的位移为s,由运动学公式vt2-v02 =2as得: 02-v02=2(-3a)s,所以v0= 。即要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0,解法三:(图像法)利用速度时间图像求解, 先作A、 B两车的速度时间图像,其图像如图 所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有 vA=v=v0-2at 对B车有vB=v=at, 以上两式联立解得t=v0/(3a) 经t时间两车发生的位移之差,即为原来两车间的距离s,它可用图中的阴影面积表示,由图像可知 s=(1/2)v0t=(1/2)v0v0/(3a)=v02/(6a),所以要使两车不相撞,A 车的初速度v0应满足的条件是v0,例4中的解法一注重对运动过程的分析,抓住两物体间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解;解法二由位移关系得到一元二次方程,然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系,这也是中学物理中常用的数学方法;解法三通过图像使两物体的位移关系更直观、简捷;解法四通过巧妙地选取参考系,使两物体的运动关系变得简明,4,一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始匀加速行驶,恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求:汽车从路口启动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少,答案】2 s 6 m
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