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2.3 等差数列的前n项和(二),了解等差数列前n项和公式的函数特征,掌握等差数列前n项和的性质,灵活运用等差数列前n项和公式及有关性质解题,课前自主学习,答案:充要,自学导引,答案:等差,答案:(2n1),答案:Smp0,自主探究,1现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩下的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为 () A9 B10 C19 D29 答案:B,预习测评,2已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 () A2 B24 C3 D25 解析:a2a4a6a8a1030 a1a3a5a7a915 得:5d15.d3.选C. 答案:C,答案:10,解析:因为数列a1a2,a3a4,a5a6,a7a8为等差数列,所以a7a84. 答案:4,课堂讲练互动,1等差数列前n项和公式 (1)性质1:SnAn2Bn(A、B为常数)anpnq(p、q为常数) (2)性质2:在等差数列中,间隔相等,连续等长的片段和序列仍成等差数列 如:a1a2,a3a4,a5a6,a7a8,公差为4d.,要点阐释,a1a2a3,a2a3a4,a3a4a5,公差为3d. a1a3a5,a2a4a6,a3a5a7,公差为3d. 等差数列依次k项之和仍是等差数列 即Sk,S2kSk,S3kS2k,S4kS3k,成等差数列,且公差为k2d.,2等差数列的前n项和的最值的求法 (1)符号转折点法,(2)利用二次函数求Sn的最值,题型一等差数列前n项和公式性质的应用,典例剖析,解法四:S10,S20S10,S100S90,S110S100,组成一首项为100的等差数列,设公差为d,前n项和为Tn.,方法点评:本题解法较多,解答一是此类题目的基本解法,但显得较烦琐,解答二、三、四主要运用了等差数列及其前n项和的性质,由此可见,灵活运用性质能给解题带来很大方便,解法二:在等差数列中,Sm,S2mSm,S3mS2m成等差数列 30,70,S3m100成等差数列, 27030S3m100. S3m210. 答案:210,题型二等差数列前n项和的最值问题,(1)从第几项开始有an0; (2)求此数列前n项和的最大值,解:(1)a150,d0.6, an500.6(n1)0.6n50.60.,(2)解法一:d0.60,a1500, 由(1)知a840,a850, S1S2S3,方法点评:等差数列中,d0,数列递增;d0,数列递减,因而若有连续两项ak,ak1异号,则Sk必为Sn的最大值或最小值,又a113,d2, an13(n1)(2)152n. 令an0,得n7.5,即数列的前7项为正整数,从第8项起,以后各项为负数项, 当n7时,Sn最大,且S749.,误区解密分析问题不严密致误,错因分析:解中仅解不等式an0是不正确的,事实上应解an0,an10.,S10S15, S15S10a11a12a13a14a150, a11a15a12a142a130,a130. 公差d0,a10, a1,a2,a11,a12均为正数,而a14及以后各项均为负数 当n12或13时,Sn有最大值为S12S13130.,课堂总结,2利用Sn,S2nSn,S3nS2n成等差的关系,直接应用于解题中,使较为复杂的问题得以简化,
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