2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系,平面内两条直线的位置关系,复习,螺 母,新课探究,观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系,探究一,问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？,讲授新课,平面上：没有一个公共点的两直线一定平行，空间中呢？,立交桥,问题2：没有公共点的直线一定平行吗？,？：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？,1.异面直线的定义:,不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。,1)异面直线既不平行也不相交,一、空间两条直线的位置关系,2)定义中“任何”是指不可能找到一个平面同时包含这两条直线； 不能认为分别在两个平面内的两条直线叫异面直线。,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,它们可能异面，可能相交，也可能平行。,说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.,如图：,(1),(3),(2),3）异面直线的画法,4）异面直线的判定方法：,不同在任何一个平面内。,既不相交也不平行的直线。,连结平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线是 异面直线。,即如图,则直线AB和a是异面直线。,按平面基本性质分,同在一个平面内,相交直线,平行直线,不同在任何一个平面内:,异面直线,有一个公共点:,按公共点个数分,相交直线,无 公 共 点,平行直线,异面直线,2 、空间中直线与直线之间的位置关系,A1,B1,C1,D1,C,B,D,A,练习1、 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？,答案：,D1C1、C1C、CD、,D1D、AD、B1C1,A1,B1,C1,D1,C,B,D,A,练习1、 如图所示：正方体的棱所在的直线 中，与直线A1B异面的有哪些？,下图长方体中,平行,相交,异面, BD 和FH是 直线, EC 和BH是 直线,BH 和DC是 直线,(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 条?,4,分别是 ：CG、HD、GF、HE,思考: 这个长方体的棱中共有多少对异面直线?,(1)说出以下各对线段的位置关系?,练习3,1. 画两个相交平面，在这两个平面内各画 一条直线，使它们成为： 平行直线；相交直线；异面直线.,巩固：,2. 两条异面直线指：,A. 空间中不相交的两条直线； B. 不在同一平面内的两条直线； C. 不同在任一平面内的两条直线； D. 分别在两个不同平面内的两条直线； E. 空间没有公共点的两条直线； F. 既不相交，又不平行的两条直线.,巩固：,( ),整理： 1、空间两条不重合的直线的位置关系有_、 _、 _三种。 2、没有公共点的两条直线可能是_直线，也有可能是 _直线。 3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有_。,平行,相交,异面,平行,异面,相交、异面,练习提升,“a，b是异面直线”是指ab=,且a不平行于b；a 平面 ，b 平面 且ab= a 平面 ，b 平面 不存在平面 ，能使a 且b 成立,1、,上述结论中，正确的是 （） （A） （B） （C） （D） 2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（） （A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对,C,C,3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（） （A）一定是异面直线（B）一定是相交直线 （C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线,D,D,探究:,H,G,C,A,D,B,E,F,如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB, CD , EE , GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对?,答:共有三对,我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?,观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, 之间有何关系？,ab c d e ,公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行,平行线的传递性,二、空间直线的平行关系,若ab，bc，,1、平行关系的传递性,则 ac。,公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据,公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行,推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行,二.空间直线的平行关系：,例2.已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：EFGH是一个平行四边形。 证明：连结BD EH是ABD的中位线 EH BD且EH = BD 同理，FG BD且FG = BD EH FG且EH =FG EFGH是一个平行四边形,如果再加上条件AC = BD,那么四边形EFGH是什么图形？,在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”空间中这一结 论是否仍然成立呢？,定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补,观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ADC与A1D1C1 , ADC与A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小 关系如何?,二.空间直线的平行关系：,2.等角定理 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？,三.异面直线所成的角,在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图.,在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?,问题提出,复习回顾,解决问题,异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 aa , b b 则把 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).,O,思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?,说明：,1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的 锐角（直角）叫做两异面直线所成的角,2、定义由等角定理解释：,为了简便，在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等),如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。,因此，异面直线所成角的范围是（0， ,3、特例：,如图，已知正方体ABCDABCD中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA和CC的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA垂直？,，,A,B,C,D,A,B,C,D,例3,求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。 三求：在一恰当的三角形中求出角,4、解题时，常将异面直线所成的角转化相交直线所成的角实现了空间问题平面化。,5、求异面直线所成的角的基本法则：,作平行线，构三角形,如图，已知正方体 中。 （1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？ （2）直线 和 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线 垂直？,解：（2）由 可 知， 等于异面直线 与 的夹角,所以异面直线 与 的夹角为450 。,(3) 直线,与直线 都垂直.,A,B,C,D,A,B,C,D,例3,如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = , AD = , AE = 2(1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度?,解答：,课堂练习1,课堂练习2,如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？,连接HA、AF，,(2)连接FH，,四边形BFHD为平行四边形，HFBD,HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角,则AH=HF=FA, AFH为等边,解：分别取AB、BC、CD、BD的中点，E、F、G、H，连接EF、FG、GH、EH、EG，,1,课堂小结,作业：,名师一号,