基础知识 一、函数图象的三大基本问题 1作图：函数图象是函数关系的直观表达形式，是研究函数的重要工具，是解决很多函数问题的有力武器 作函数图象有两种基本方法： 描点法：其步骤是： (尤其注意特殊点，零点，最大值最小值，与坐标轴的交点)、 、 图象变换法,列表,描点,连线,2识图：对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系 3用图：函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法,二、图象变换的四种形式 1平移变换有： 水平平移：yf(xa)(a0)的图象，可由yf(x)的图象向 平移 个单位而得到 竖直平移：yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象向 平移 个单位而得到,左或向右,a,上或向下,b,2对称变换主要有： yf(x)与yf(x)，yf(x)与yf(x)，yf(x)与yf(x)，yf1(x)与yf(x)，每组中两个函数图象分别关于 、 、 、 对称； 若对定义域内的一切x均有f(xm)f(mx)，则yf(x)的图象关于 对称；yf(x)与y2bf(2ax)关于 成中心对称,y轴,x轴,原点,直线yx,直线xm,点(a，b),3伸缩变换主要有： yaf(x)(a0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的纵坐标伸(a1时)缩(a0)的图象，可将yf(x)的图象上每点的横坐标伸(a1时)到原来的 .,a,4翻折变换主要有： y|f(x)|，作出yf(x)的图象，将图象位于 的部分以 为对称轴翻折到 ； yf(|x|)，作出yf(x)在 右边的部分图象,以 为对称轴将其翻折到左边得yf(|x|)在 左边的部分的图象,x轴下方,x轴,上方,y轴,y轴,y轴,三、图象对称性的证明及常见结论 1图象对称性的证明 证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上 证明曲线C1与C2的对称性，即要证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然,2有关结论 若f(ax)f(bx)，xR恒成立，则yf(x)的图象关于x 成轴对称图形； 函数yf(ax)与函数yf(bx)的图象关于直线x (ba)对称； 若函数f(x)关于xm及xn对称，则f(x)是周期函数，且 是它的一个周期； 若f(xa) 对xR恒成立，则f(x)是周期函数，且 是它的一个周期,2|mn|,T4a,易错知识 一、函数的平移变换 1把yf(3x)的图象向_平移_个单位得到yf(3x1)图象 答案：右,二、函数的伸缩变换 2将函数ylog3(x1)的图象上各点的横坐标缩小到原来的 ，再向右平移半个单位，所得图象的解析式为_ 答案：ylog3(2x2),三、函数的对称变换 对于函数y|f(x)|与yf(|x|)一定要区分开来，前者将yf(x)处于x轴下方的图象，翻折到x轴上方，后者将yf(x)图象y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y0.比如y|sinx|与ysin|x|.,四、函数的对称性与周期性易混 若函数yf(x)满足下列条件，则函数具有的性质为： f(x)f(ax) ，则yf(x)关于x 对称； f(x)f(ax) ，则yf(x)以 为周期； f(x)f(ax) ，则yf(x)关于点( )对称； f(x)f(ax) ，则yf(x)以 为周期,a,2a,3设函数yf(x)定义在实数集上，则函数yf(x1)与yf(1x)的图象关于() A直线y0对称B直线x0对称 C直线y1对称 D直线x1对称 解析：作为一选择题可采用如下两种解法：常规求解法和特殊函数法,常规求解法：因为yf(x)，xR，而f(x1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1x)f(x1)的图象是f(x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(x)的图象是关于y轴(即直线x0)对称，因此，f(x1)与f(x1)的图象关于直线x1对称，故选D. 特殊函数法：令f(x)x，则f(x1)x1，f(1x)1x，两者图象关于x1对称，故否定A、B、C，选D.,失分警示：因为函数是定义在实数集上且f(x1)f(1x)，所以函数yf(x)的图象关于直线x0对称，选B. 这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈，即对称问题中有一结论：设函数yf(x)定义在实数集上，且f(ax)f(ax)，则函数f(x)关于直线xa对称这个结论只对于一个函数而言，而本题是关于两个不同函数的对称问题，若套用这一结论，必然会得到一个错误的答案 答案：D,回归教材 1(课本P1017题改编)函数y1 的图象是() 答案：B,2(2009成都诊断)把函数ylnx的图象按向量a(2,3)平移得到yf(x)的图象，则f(x)() Aln(x2)3Bln(x2)3 Cln(x2)3 Dln(x2)3 答案：C,3(2009北京，4)为了得到函数ylg 的图象，只需把函数ylgx的图象上所有的点() A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析：由ylg 得ylg(x3)1，由ylgx图象上所有的点向左平移3个单位，得ylg(x3)的图象，再向下平移1个单位得ylg(x3)1的图象故选C. 答案：C,4(2008全国理，3)函数f(x) x的图象关于() Ay轴对称 B直线yx对称 C坐标原点对称 D直线yx对称 解析：f(x) x， f(x) x( x)f(x) f(x)是一个奇函数f(x)的图象关于原点对称 答案：C,5(2009江南十校)已知f(x)ex，则函数g(x)|f1(1x)|的大致图象是() 答案：D,【例1】作出下列函数的大致图象： (1)y ；(2)y ； (3)y|log2x1|；(4)y2|x1|. 思路点拨首先将简单的复合函数化归为基本的初等函数，然后由基本初等函数图象变换得到,解析(1)y ，利用二次函数的图象作出其图象，如图. (2)因y1 ，先作出y 的图象，将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y 的图象，如图.,(3)先作出ylog2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上及x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y|log2x1|的图象，如图. (4)先作出y2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y2|x|的图象，再将y2|x|的图象向右平移一个单位，即得y2|x1|的图象，如图.,方法技巧已知函数解析式研究函数图象问题，主要是将解析式进行恰当的化简，然后与一些熟知函数的图象相联系，通过各种图象变换得到要求的函数图象，此过程中，要善于发现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)，并用于作图中 温馨提示本题(2)、(3)、(4)在作平移变换时易在平移的方向上出错,作出下列函数的大致图象： (1)y22x；,解析：(1)作函数y2x的图象关于x轴对称的图象得到y2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y22x的图象如图1；,(2)因为ylog 3(x2)log33(x2) log3(x2)1. 所以可以先将函数ylog3x的图象向左平移2个单位，可得ylog3(x2)的图象，再作图象关于x轴的对称图象，得ylog3(x2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得ylog3(x2)1的图象，即为ylog 3(x2)的图象如图2；,(3)作ylog x的图象关于y轴对称的图象，得ylog (x)的图象，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方，可得到y|log (x)|的图象，如图3.,【例2】函数yf(x)与函数yg(x)的图象如图 则函数yf(x)g(x)的图象可能是(),解析从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B. 又x0时，g(x)为增函数且为正值，f(x)也是增函数， 故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负， 注意到x 时，f(x)0，则f( )g( )必等于0，排除C、D.或注意到x0(从小于0趋向于0)，f(x)g(x)，也可排除C、D. 答案A,反思归纳要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、零点、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合选择填空题，作出合理取舍,(2007上海春，14)下列四个函数中，图象如下图所示的只能是() AyxlgxByxlgx Cyxlgx Dyxlgx,解析：特殊值法：当x1时，由图象知y0，而C、D中y0，而A中y lg 0，排除A，故选B. 答案：B,【例3】(1)(2007黄冈3月模拟)函数yax1的图象与函数yloga(x1)(其中a0且a1)的图象关于() A直线yx对称B直线yx1对称 C直线yx1对称 D直线yx1对称 解析yax与ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称又yax1与yloga(x1)分别是由yax与ylogax的图象向左平移1个单位而得到，yax1与yloga(x1)的图象关于直线yx1对称故选C. 答案C,(2)(2007浙江九校联考)如果函数f(x1)是偶函数，那么函数yf(2x)的图象的一条对称轴是直线() Ax1 Bx1 Cx Dx 解析yf(x1)右移一个单位得yf(x)的图象 因此，yf(x)关于x1对称，yf(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，得yf(2x)的图象，因此对称轴为x ，故选D. 答案D,(2009辽宁，8)将函数y2x1的图象按向量a平移得到函数y2x1的图象，则() Aa(1，1) Ba(1，1) Ca(1,1) Da(1,1) 解析：y2x1向下平移1个单位，得y2x， 由y2x向左平移1个单位得y2x1. 故向量a(1，1) 答案：A,(2009山东，4)设函数f(x)|x1|xa|的图象关于直线x1对称，则a的值为() A3B2 C1D1 解析：方法1：由题意可得对于xR，f(x1)f(1x)恒成立， 即|x2|x1a|x2|x1a|， |x2|x1a|x2|x1a|， 1a2，得a3.故选A.,方法2：利用绝对值的几何意义，知f(x)是点x到1、a的距离之和，由于关于x1对称，因此，1与a关于x1对称，所以a3. 答案：A,【例4】(2007沪，16)设定义域为R的函数 f(x) ，则关于x的方程f 2(x)bf(x)c0有7个不同实数解的充要条件是 () Ab0 Bb0且c0 Cb0且c0 Db0且c0 命题意图本题主要考查利用图象判断解的个数问题，充要条件等知识,分析通过数形结合法、筛选法获得正确答案 解析f(x) 故函数f(x)的图象如图,注意f(0)0有三个根x10，x21，x32，且有f(x)0，令f(x)t0，则方程为：t2btc0有实数解(t0)需满足：t1t2b0，即b0，t1t2c0，排除B、D，(因B项：c0. 由f(x)b0，结合图象，此时有4个根，f(x)0有根为0,1,2.共7个 答案C,f(x)是定义在区间c，c上的奇函数，其图象如下图所示令g(x)af(x)b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是(),A若a0，则函数g(x)的图象关于原点对称 B若a1,0b2，则方程g(x)0有大于2的实根 C若a2，b0，则函数g(x)的图象关于y轴对称 D若a0，b2，则方程g(x)0有三个实根 命题意图：本题主要考查函数图象、方程等综合知识的运用能力 分析：认真读图，从图中寻找突破口,解析：解法一：用淘汰法，当a0时，g(x)af(x)b是非奇非偶函数，不关于原点对称，淘汰A.当a2，b0时，g(x)2f(x)是奇函数，不关于y轴对称，淘汰C.当a0，b2时，因为g(x)af(x)baf(x)2，当g(x)0有af(x)20，f(x) ，从图中可以看到